最值问题是一类特殊的数学问题,它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用,而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置,是历年高考重点考查的知识点之一。在高考中,它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系,并以一些基础题,小综合的中档题或一些难题的形式出现。由于其解法灵活,综合性强,能力要求高,故而解决这类问题,要掌握各数学分支知识,能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法。本文现拟对求函数最值问题的方法作一个综述,以便于广大师生系统掌握求函数最值的初等求解方法。
一、配方法:主要运用于二次函数或可转化为二次函数的函数解题过程中要注重自变量的取值范围
例1 已知函数y=?(e?x-a)?2+?(e-x-a)?2(a∈R,a≠0),求函数y的最小值.
分析:将函数表达式按e?x+e-x配方,转化为关于为变量e?x+e-x的二次函数
解:y=?(e?x-a)?2+?(e-x-a)?2=?(e?x+e-x)?2-2a(e?x+e-x)+2a?2-2,
令t=e?x+e-x,f(t)=t?2-2at+2a?2-2,
∵t≥2,∴f(t)=t?2-2at+2a?2-2=?(t-a)?2+a?2-2的定义域2,∞,∵抛物线y=f(t)的对称轴为t=a,∴当a≤2且a≠0时,ymin=f(2) =2?(a-1)?2当a>2时,ymin=f(a)=?a?2-2.
评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围.和对称轴与区间的相对位置关系.
二、不等式法.运用不等式法求最值必须关注三个条件即”一正二定三相等”
例2 求函数y=ax?2+x+1x+1(x>-1且a>0)的最小值.
解:y=ax?2+x+1x+1=ax+ax+1+(1-a)=a(x+1)+ ax+1+1-2a≥ 2a(x+1)ax+1+1-2a=1当a(x+1)=ax+1,即x=0时等号成立,∴ymin=1.
三、换元法.主要有三角换元和代数换元换两种.用换元法时,要特别关注中间变量的取值范围
例3 求函数y=x+1-x 的最大值和最小值.
解一:先求定义域得0≤x≤1令x=sin?2θ θ∈0,π2, y=sinθ+cosθ=2sinθ+π4
∵π4≤θ+π4≤3π4,
∴当θ=0或π2时,ymin=1,当θ=π4时,ymax=2.
解二:令x=u∈0,1,1-x=v∈0,1,
∴u?2+v?2=1(u≥0,v≥0)则y=u+v即v=-u+y 由直线方程斜截式纵截距的几何意义知:.ymin=1,ymax=2.
例4 求函数y=1+x-2x?2+x?3+x?41+2x?2+x?4的最大值和最小值.
解:f(x)=1-2x?2+x?41+2x?2+x?4+x+x?31+2x?2+x?4=1-x?21+x?2?2?
+x1+x?2
令x=tanθ2,则f(x)=?f(θ)=cos?2θ+12sinθ=-sin?2θ+12sinθ+1=-sinθ-14?2+1716
∴当sinθ=14时,?f(x)max=1716当sin=-1时,?f(x)min=-12.
四、数形结合法.主要适用于具有几何意义的函数,通过函数的图象求最值
例5 已 知x?2+y?2-2x+4y-20=0求x?2+y?2 的最值.
分析:本题已知条件转化为(x-1) ?2+?(y+2)?2=25,可用三角代换转化为三角函数最值问题处理,也可借助几何图形数形结合处理.
解:作x?2+y?2-2x+4y-20=0的图形,它是圆心在?P(1,-2)半径为5的圆,依题意有x?2+y?2=2x-4y+20,设x?2+y?2=z,则z=2x-4y+20即y=12x+20-z4,其图形是斜率为12且与已知圆相交的一簇平行线,于是求z的最值问题就是求这簇平行线中在y轴的截距最大或最小问题.由平面几何知识知,圆心P(1,-2)到切线2x-4y+20-z=0的距离小于或等于半径,即2×1-4(-2)+20-z2?2+?(-4)?2≤5即30-z≤?105故30-105≤z≤30+105,故?z?1=30-?105为最小值,??z?2=30+105 为最大值即x?2+y?2最大值?30+105最小值30-105.
五、函数的单调性法.先判明函数给定区间上的单调性,而后依据单调性求函数的最值
例6 已知函数f(x)定义域R,为对任意的?x?1,?x?2∈R都有f(?x?1+?x?2)=f(?x?1)+f(x?2)且x>0时f(x)0, ∴f(?x?2)-f(?x?1)=f(?x?2)+f(-?x?1)=f(?x?2-?x?1)