高考试题中,求空间角与距离的问题既是高考命题的重点,也是热点,每年必考。向量作为一种重要的数学工具,在解决这些问题中可以使问题解决变得简单。我们可以利用向量的垂直与平行的充要条件来证明空间的垂直与平行问题;还可以通过向量的运算来解决空间角和距离问题。其一改传统作法中“一作、二证、三计算”的“三步曲”解法,避开了繁琐的“一作、二证”,避免了传统作法中作辅助线多、技巧性强的缺点,从而大大降低了立几问题的难度,为立体几何增添了新活力,新思想、新方法与新工具,本文将讨论如何运用向量方法简捷地解决这些问题.
例 如图所示,已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形,点P、Q分别是ED和AC的中点.求:
(1) PM与FQ所成的角;
(2) P点到平面EFB的距离;
(3) 异面直线PM与FQ的距离;
(4) 二面角M―EF―B的大小;
(5) FQ与平面EFB的所成的角.
解:如图建立空间直角坐标系,则A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、D(0,0,0)、M(0,0,a)、E(a,0,a)、F(0,a,a)由中点坐标公式得P(a2,0a2a,a2,0)
(1) ∴ ?PM?=(-a2,0,a2),?FQ?=(a2,-a2,-a),?PM?•?FQ?=(-a2)×a2+0+a2×(-a)=-34a?2且?PM?=22a,?FQ?=62a,
∴ ?cos?〈?PM?,?FQ?〉=?PM?•?FQ??PM??FQ?=-34a?222a×62a=?-32?,∴ 〈?PM?,?FQ?〉=150?°?,即PM与FQ所成的角为30?°?
(2) 设?n?1?=(x,y,z)是平面EFB的法向量,即?n?1?⊥平面EFB,∴?n?1?⊥?EF?,?n??1??⊥?BE?
又?EF?=(-a,a,0),?EB?=(0,a,-a),即有-ax+ay=0?ay-az=0?x=y=z,取x=1,则?n?1?=(1,1,1)
∵ ?PE?=(a2,0,a2)
∴ 设所求距离为d,则d=?PE?•?n?1??n?1?=33
(3)设m→=(x?1,y?1,z?1)是两异面直线PM、FQ的公垂线的方向向量,则m→⊥?PM?,m→⊥?FQ?,由?PM?=(-a2,0,a2),?FQ?=(a2,-a2,-a)得
-a2x?1+a2z?1=0?a2x?1-a2y?1-az?1=0?x?1=z?1=-y?1
取y?1=-1,则m→=(1,-1,1)
而?MF?=(0,a,0)
设所求距离为m,则m=?MF?•m→m→=33a
(4) 易知?n?2?=(0,0,-1)为半平面EFM的一个法向量,由(2)可知平面EFB的一个法向量?n?1?=(1,1,1)
∴ ?cos?〈?n?1?,?n?2?〉=?n?1?•?n?2??n?1??n?2?=-33
∴ 二面角M―EF―B的大小为π-?arccos?33
(5) 由(2)中可知平面EFB的一个法向量?n?1?=(1,1,1)
∴ ?cos?〈?FQ?,?n?1?〉=?FQ?•?n?1??FQ??n?1?=-23
∴直线FQ与平面EFB所成的角为 ?arcsin?23
思考与结论:
(一) 求空间角问题
?. 求异面直线所成的角
设a→b→分别为异面直线m、n的方向向量,则两异面直线m、n所成的角α=?arccos?a→•b→a→b→
?. 求线面角
设m→是斜线m的方向向量,n→是平面α的法向量,则斜线m与平面α所成的角
α=?arcsin?m→•n→m→n→
?. 求二面角
法一 已知,l为二面角α-l-β的棱,在α内a→⊥l,在β内b→⊥l,则二面角 α-l-β的平面角δ=?arccos?a→•b→a→b→
法二 设?n?1?,?n?2?是二面角α-l-β的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角α-l-β的平面角δ=?arccos??n?1?•?n?2??n?1??n?2?
当两个法向量同时指向内侧或同时指向外侧时取其补角
(二) 求空间距离问题
?. 求空间一点A到平面α的点面距离d
d=?AB?•n→n→,其中B∈α,n→是平面α的法向量
?. 求异面直线a,b之间的距离d
d=?AB?•n→n→,其中n→⊥a,n→⊥b,A∈a,B∈b.
?. 直线a与平面α之间的距离
d=?AB?•n→n→,a∥α,其中A∈a,B∈β,n→是平面α的法向量
?. 两平行平面α,β之间的距离d
d=?AB?•n→n→,其中A∈α,B∈β,n→是平面α的法向量
?. 点A到直线a的距离
d=??AB???2-??AB?•n→n→??2,其中B∈a,n→是直线a的方向向量
?. 两平行直线a、b之间的距离
d=??AB???2-??AB?•n→n→??2,其中A∈a,B∈b,n→是a的方向向量。
(周金斤 甘肃省宕昌一中 748500)