【摘要】 在对测量设备进行校准/检定后，要出具校准证书或检定证书 ；对某个被测量设备进行测量后，要给出测量结果，按照ISO/IEC导则25.45的规定应给出测量不确定度。测量不确定度的评定，是根据测量方法和测量程序确定被测量与其它量之间的函数关系，分析不确定度来源，列出不确定度分量清单，最终确定被测量结果的可信程度的一种方法。
【关键词】 不确定度 自由度 相关系数
一．引言
近年来，国内计量学研究取得一些新进展，名词术语和不确定度表示趋向国际校准和测试实验室接受权威的认可机构认可，成为国内同行的资格与能力合格评定手段，测量保证在质量体系中的要素地位和质量保证中的支撑性地位被世界公认。这些方面的新进展都体现在相关的国际标准中，也体现在颁布的国家军用标准中，为贯彻国军标，为使计量工作与国际接轨，计量工作中不确定度评定是计量工作中的新的发展和变化的需要。
二．评定步骤
为评定测量结果的不确定度或提供测量不确定度评定的报告，一般可按下列步骤进行：
1.概述
2.建立数学模型
3.输入量的标准不确定度评定，包括标准不确定度的A类评定和标准不确定度的B类评定。
4.合成标准不确定度的评定
5.扩展不确定度的评定
6.测量不确定度的报告与表示
三．如何建立数学模型
1.根据测量方法和测量程序建立数学模型，即确定被测量Y（输出量）与其它量（输入量）(x?1,x?2…x?N)之间的函数关系：
X= (x?1,x?2…x?N)。
输入量通常是一些直接可测的量，物理量或其它量（如修正值）。
由x1,x2…xN的最佳值 ，可得到Y的最佳值y，则y= 。
建立数学模型时，应说明数学模型中的各个量的含义。
2.测量结果y的不确定度将取决于输入量x?1,x?2…x?n的不确定度及其传播率。应周全地找出这些输入量的不确定度来源，可从测量仪器，测量环境，测量人员，测量方法，被测量等方面全面考虑，应做到不遗漏，不重复。
评定y的不确定度之前，为确定Y的最佳值，应将所有修正量加入测得值，并将所有测量异常值剔除。
3.输出量Y的输入量x?1,x?2…x?n本身可看作被测量，也取决于其它量，甚至包括具有系统效应的修正值，从而可能导出一个十分复杂的函数关系式。在实际测量中，如果修正值本身与合成标准不确定度比起来很小时，修正量可不加到测量结果中。输入量及其不确定度来源的考虑应充分满足测量所需求的准确度，同一被测量Y的不同的准确度要求下，其数学模型可能会不完全相同。如果测量过程比较简单，准确度要求不高，一般所考虑的输入量或影响量个数较少。
四．输入量的标准不确定度评定
1对于数学模型y=f（x?1,x?2…x?n），输出量y的不确定度将取决于x?i不确定度，即x?i不确定度是y的不确定度的来源，所以在评定输出量y的不确定度之前，首先应评定：输入量x?i的标准不确定度?u(x?i)?。
?u(x?i)?的评定一般应按（x?1,x?2…x?n）依次逐个评定。每个输入量x?i的u（x?i）的评定中，可能会有几个独立无关的不确定度来源，则可以相应作为u（x?i）分项。这种情况应首先评定标准不确定度u（x?i）的分项（x??ij?），u（x?i）则为各个u（x??ij?）的合成。
输入量x?i的标准不确定度u（x?i）及其分项u（x??ij?）的评定方法可归纳为A、B两类：
A类评定采用对观测列进行统计分析方法，来评定标准不确定度。
B类评定用不同于对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度。
2标准不确定度的A类评定
(1)基本方法:
标准不确定度A类评定的信息来源于对一个输入量x进行多次重复测量得到的测量列，（x?1,x?2…x?n）采用统计分析方法计算标准不确定度。
输入量的最佳值等于测量列x?1,x?2…x?n的算术平均值，在等精度测量下，算术平均值x?-为：
测量列的单次实验标准偏差s，通常可采用贝塞尔法计算：s=
测量列的平均值的实验标准偏差s(x?-)可按下式计算：s(x?-)=s√n
输入量x的A类标准不确定度 即为测量列的平均值的实验标准差：
A类标准不确定度u(x)的自由度等于测量列标准差的自由度，用贝塞尔法计算测量列标准差时，其自由度v=n-1，n为测量列的测量次数。
2.2在规范化的常规测量中，如计量标准开展的检定项目等。在重复性条件下或复现性条件下进行的规范化测量，测量结果的不确定度及其A类标准不确定度也可不一定每一次测量时重新评定，可直接采用预先评定结果，为提高其可靠性，一般应采用合并样本标准差。
对于输入量 在重复性下或复现性条件下进行n次X独立测量，得到x?1,x?2…x?n，其平均值为x?-，实验标准差为s，自由度为v。如果有m组这样的测量，则合成样本差s可按下式计算：
合并样本标准差的自由度 可按下式计算：
；式中V?j-m- 组中第j组测量列的自由度。在实际测量中，如对输入量x仅进行了k次测量（1≤k≤n）以k次测量算术平均值作为测量结果，则该结果的标准不确定度可为u（x?-）=S?p√k，无论实际测量次数 采取多大，其标准不确定度u（x?-）的自由度均等于S?p的自由度V。
上述m组测量列应考虑到可能的不同测量点，不同量程测量结果，如果在不同测量点，不同量程所得到测量列的标准差相差较大或有一定变化规律时，应按不同测量点，不同量程分段计算s?p。
为使所得合并样本标准差s?p更能代表日常规范化测量情况，上述m组测量列还应尽可能考虑到同类型的不同被测情况，如果对同类型不同被测情况所得测量列标准差较大，就不能使用同一个合并样本标准差s?p，通过试验说明该类型被测不太稳定，需要对每个被测进行A类评定或在测量要求允许的情况下保守地采用其中一列标准差最大的测量列，自由度为 n-1，n为该测量列的测量次数。
合并样本标准差s?p只有在同类型被测较稳定，m组测量列的各个标准差s相差不大情况下，标准差s的不确定度可以忽略时，才能使用同一个s?p。考虑到测量列的标准差s是一个变量，标准差s的标准差
式中 为测量列中测量次数。
2.3贝塞尔法是计算实验标准差的最常用方法，还有其它计算方法，如极差法、最大残差法，最小二乘法等。其自由度也有相应的计算方法。
一般在测量次数较小时可采用极差法。对输入量x进行n次重复测量，计算测量结果中的最大值与最小值之差的R（称为极差），在x可以估计接近正态分布的情况下，单次测量结果x?i的实验标准差 s可以按下式近似地评定：
S=RC
系数 及自由度如下表所示：
2.4涉及到的几个概念
(1)（测量结果）重复性在相同测量条件下，对同一被测量连续进行多次测量所得结果之间的一致性。
这些相同的条件称为重复性条件，包括：相同的测量程序，相同的观测者，在相同条件下使用相同测量器具，相同地点和在短期内进行重复测量，可以用测量结果的分散性定量地表示。
(2)（测量结果）复现性:在变化的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。变化的测量条件包括：测量原理，测量方法，观测者，测量器具，参照标准，测量地点，使用条件和测量时间，可用测量结果的分散性定量表示。
(3)自由度:在方差的计算中，和的次数减去对和的限制数。
3标准不确定度的B类评定
3.1采用标准不确定度B类评定的信息来源一般有：
a．校准证书，检定证书或其它文件提供的数据准确度等级，包括目前使用的极限误差等。
b．生产部门的技术说明书。
c．以前测量的数据和经验。
d．对有关测量仪器性能或材料掌握的知识。
e．手册或有关资料给出的数据及其不确定度。
3.2基本方法
对于以上信息来源的不确定度的B类评定，可以根据所提供的信息，先确定（找出）其输入量x的不确定度区间［-α ，α］或误差的范围，其中α为区间的半宽度。然后根据该输入量x在不确定度区间［-α，α］内的概率分布情况确定包含因子kp，则按下式，可计算得B类标准不确定度 u（x）= akp
包含因子kp的确定一般有以下几种方法：
a．服从正态分布
b．服从其他分布
c．不能确定分布情况，可认为服从均匀分布的假设取包含因子为√3。
3.3输入量 由完善的校准证明书或检定证书等技术文件给出，同时也给出了x的不确定度u(x)及k值，标准不确定度 =u(x)u(x)k 。
3.4输入量 的分散区间为［α?-α?+］ ,且相对于最佳估计值 并不对称的情况下，则半宽度α= (α?+-α?-)/2，缺乏 在区间内的分布信息，则可按均匀分布处理。标准不确定度u(x)可按下式计算：u(x)=(a?+-α)/2√3 = /2 。
3.5对于数字显示式测量仪器，如其分辨率为??x，则由此引起的标准不确定度为 u(x)=0.29??x。
3.6 B类评定的自由度
B类评定的标准不确定度u(x)的自由度可按下式近似计算得：v=12［△u(x)u(x)］??-2?
根据经验，按所依据的信息来源的可信程度可估计u(x)的相对标准不确定度［△u(x)u(x)］，然后按上式计算。
五．合成标准不确定度的评定
1灵敏系数
对于数学模型y=f(x?1,x?2…x?n)
?f?x?i是在X?i=x?i 时导出的这些偏导数称为灵敏系数，符号为c?i，即 =?f?x?i
灵敏系数反映了输出量Y的估计值y如何随输入量估计值x?1,x?2…x?n的变化而变化，即c?i描述了当x?i变化一个单位时，引起y的变化量。
2标准不确定度汇总表
在标准不确定度合成之前，应将所有A类评定和B类评定得到的标准不确定度按下表格形成汇总表，以便统揽和审核各输入量的标准不确定度的情况。
标准不确定度汇总表
3合成标准不确定度的计算
合成标准不确定度按输出量Y的估计值y给出的符号为u?c(y)。
当全部输入量是彼此独立或不相关时，合成标准不确定度u?c(y)的方差可按下式得出：
标准不确定度u(x?i)既可以按A类，也可以按B类方法评定。u?c(y)是估计的标准差，表征合理赋予被测量Y之值的分散性。
4当输入量x?i之间明显相关时，就必须考虑相关性。当所有输入量x?i都相关，且相关系数y(x?i,x?i) =1相关情况下，合成标准不确定度应为：
5合成标准不确定度自由度的计算
六．扩展不确定度的评定
扩展不确定度分为两种表示形式：U?p和U
1扩展不确定度U?p可由下式计算：
U?p=k?p•u?c（y） 与y的分布有关
2扩展不确定度U可由下式计算
U =ku?c（y） 一般取2～3
七．测量不确定度的报告与表示
当给出完整的测量结果时，一般应报告其测量不确定度。
1报告测量不确定度时应尽可能详细，以使使用者可以正确地利用测量结果：
报告扩展不确定度U时，应同时报告包含因子k
报告扩展不确定度U?p时，应同时报告包含因子k?p及v??sff?、p。
2报告合成标准不确定度或扩展不确定度的有效位数最多为两位有效数字。在连续（中间）计算中，为避免修改误差可保留多一些有效数字，最终报告不确定度时，其末位后面的数按数据修约规则进行（以保留数字的末位为单位：①末位后的数大于0.5者，末位进一；②末位后的数小于0.5者，末位不变；③末位后的数恰为0.5者，末位变成偶数，即末位为奇数时进一成偶数，当末位为偶数时舍去该0.5仍保持偶数。）。
对报告的测量结果，需将其修约至与其不确定度有效位数一致（即报告测量结果的有效数字末位与其不确定度末位"数位"上应一致）。
八．结束语
测量不确定度是经典的误差理论发展和完善的产物，目的是为了澄清一些模糊的概念和便于使用，因为它比经典的误差表示方法更为科学和实用，在出具校准证书，测试报告和技术报告中涉及到测量结果时规定一律使用测量不确定度来表述。?
参考文献?
［1］ JJF1059-1999中华人民共和国国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》?
［2］ GJB3756-1999中华人民共和国国家军用标准《测量不确定度的表示及评定》