数与形是数学中两个最古老的、也是最基本的研究对象,它们在一定的条件下可以相互转化,如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景,而借助其背景图形的几何性质,可使那些抽象的概念,复杂的数量关系变得直观,以便于探求解题思路或找出问题的结论。几何法解题不仅是一种重要的解题方法,而且也是一种重要的思维方法,因此它在高中数学中占有重要的地位。在学习中加强几何法训练,对巩固和加深有关数学知识的理解、打好基础、提高解题速度和能力是非常重要的。
1. (2009年广东21题改编)已知曲线C?n:x?2-2nx+y?2=0(n=1,2,…).从点P(-1,0)向曲线C?n引斜率为k?n(k?n>0)的切线l?n,切点为P?n(x?n,y?n).则数列y?n的通项公式为 。
分析:本小题主要考查数列通项等知识,考查数形结合、数列运算求解等能力。若从数列常规解法来解,须先求出k?n,再求x?n,才能得到数列y?n的通项。
解:∵C?n:x?2-2nx+y?2=0(n=1,2,…)
∴?(x-n)?2+y?2=n?2(n=1,2,…)
由题的切点P?n(x?n,y?n)在以Cn,0为圆心,n为半径的上半圆上。
所以y?n>0,且yn就是△PCP?n边PC上的高。
∵S=12PC•y?n=12PP?n•r
∴12(n+1)•y?n=12?(n+1)?2-n?2•n
∴y?n=n2n+1n+1(n=1,2…)
评注:本题的应用几何方法中等面积法,把问题简化为单一的知识点,便于学生快速又准确地求出答案。
2.(2010苏北四市高三模拟改编)已知,圆H方程为 ?(x-2)?2+?(y-1)?2=2,设点P(0,b),过点P作直线与⊙H交于M,N两点,若点M恰好是线段PN的中点,则实数b的取值范围为.
分析:本小题主要考查直线与圆的位置关系等知识,考查数学运算求解能力、综合分析解决问题的能力.
解法1(两次利用勾股定理):
如图,设Q为线段MN的中点,则HQ⊥MN,
设MQ=m(m>0),则PQ=3m.由Rt△PHQ及Rt△MHQ,
有PH?2-PQ?2=HQ?2=MH?2-MQ?2,
即2?2+?(b-1)?2-9m?2=2-m?2,∴?(b-1)?2+2=8m?2.
∵MQ=m为⊙H的半弦长,
∴m≤2,
∴?(b-1)?2+2≤16,解得1-14≤b≤1+14,
故b的取值范围为[1-14,1+14].
解法2(切割线定理):
由切割线定理可知PM•PN=(PH+r)(PH-r),
又PN=2PM=2MN,PH=2?2+?(b-1)?2,r=2,
∴2?2+?(b-1)?2-?(2)?2=2MN?2,又MN≤22(弦长不大于直径),
∴2+?(b-1)?2≤16,解得1-14≤b≤1+14,
故b的取值范围为[1-14,1+14].
解法3(切割线定理):
由题意和圆的基本性质的,PH≤3r
∴?(b-1)?2+4≤32 解的∴?(b-1)?2+4≤18
∴1-14≤b≤1+14
故b的取值范围为[1-14,1+14].
评注:本题的3种解法都是应用几何方法,注意其利用隐含的不等关系将等式转化为解不等式问题;
3. (2008江苏)若AB=2,AC=2BC,则S△ABC的最大值 。
【解析】 本小题考查三角形面积公式及函数思想,但也渗透出求轨迹的解法。
因为AB=2(定长),可以以AB所在的直线为x轴,其中垂线为y轴建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y),由AC=2BC可得?(x+1)?2+y?2=2?(x-1)?2+y?2,化简得?(x-3)?2+y?2=8,即C在以(3,0)为圆心,22为半径的圆上运动。又S△ABC=12•AB•y?c=y?c≤22。
【答案】2.
?
4. (2010重庆文数15)如图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C,各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等. 设第i段弧所对的圆心角为
α?i(i=1,2,3),则cosα?13cosα?2+α?33-?sinα?13sinα?2+α?33=.
分析:本小题考查三角运算公式和三个变角的和是定值。
解:∵cosα?13cosα?2+α?33-sinα?13sinα?2+α?33=cosα?1+α?2+α?33
又同弧所对的圆周角是同弧所对的圆心角的一半
即α?12+α?22+α?32=2π,
∴α?1+α?2+α?3=4π
∴cosα?1+α?2+α?33=cos4π3=-12
(蔡 军 江苏省灌南华侨双语学校 222500)