一般来说,高考题的命制有下面的几个途径:课本题改编,名题改编,高数概念与理论简化(信息迁移题)、组合与分解等 1. 课本题改编 课本是从多专家潜心打造的“精品”,高考题的最直接也是最容易的命制方法就是课本例习题改编,诸如逆向提问(考虑逆命题的真假)、拓展延伸、变更条件与结论、问题推广、特殊与一般等,充分挖掘课本的潜力,以书为据,以本为本,是复习迎考的有效策略。
(1)2007年江苏卷第10题:在平面直角坐标系?xoy?中,已知平面区域A=(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0,则平面区域B=(x+y,x-y)|(x,y)∈A的面积为()
?A. 2 B. 1 C. ?12 D. ?14
本题立意高,具有仿射变换的背景,也可用矩阵与变换知识求解。它以课本中的线性规划为切入点,再以线性运算进行嵌套,突出了新约束条件的挖掘与可行域的面积求解,求解关键是探究:设x+y=u,x-y=v,线性规划与换元法都是学生熟悉的,但整合后放在新的背景下,就难倒了众多考生。
(2)等差数列a?n的求和公式,S?n=a?1+a?n2•n。逆向提问就得到了1994年高考题:已知数列a?n的前?n?项和是S?n,求证:a?n是等差数列的充要条件是S?n=a?1+a?n2•n,充分性的证明有一定难度,能有效区分考生层次,基本方法是消去S?n,寻求a?n满足的适当条件,但需两次作差,最后由a?n-1+a?n+1=2a?n(n≥2,n∈N?*)得证。
2. 名题改编
“问题是数学的心脏”,当今数学之所以生机盎然,蓬勃发展,离不开富有时代气息的鲜活问题,著名的“希尔伯特23问题”,曾引领了20世纪的数学发展。因此,命题专家总是青睐名题,将其改编成与考生水平、能力相适应的试题。
(1)2008年江苏卷13题:满足条件AB=2,AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值是
该题解法多样,源于阿波罗尼斯圆。(在平面上给定相异两点A、B,设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ, 当λ>0且λ≠1时,P点的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点,则MN为阿波罗尼斯圆的直径,且MN=2λλ?2-1AB。)
以此为背景的题目多次在全国及省市高考及各地模拟试卷中出现,而且很多情况下是解析几何的大题。
(2)2008年江苏卷17题:如果,某地省三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处,AB=20?km?,BC=10?km?,为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与A、B等距离的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO、BO、PO,记排污管道的总长度为y?km?。
(Ⅰ)按下列要求建立函数关系:
① 设∠BAO=θ(?rad?),将?y?表示为θ的函数;
② 设PO=x(?km?),将y表示为x的函数。
(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系,确定污水处理厂的位置,使铺设的排污管道的总长度最短。
本题涉及几何中的“费马点”:在△ABC所在平面上找一点O,使OA+OB+OC为最小,结论是:若三角形的任一内角均不超过120?°?,则O点是使∠AOB=∠BOC=∠COA=120?°?的点,又称为“正等角中心”;若三角形有一内角超过120?°?,则该点就是所求的“费马点”本题中,ΔABP的任一内角均不超过120?°?,从而θ=30?°?
(3)2009年湖北高考15题:已知数列a?n满足:a?n=mm为正整数a?n+1=a?n2,当a?n为偶数时3a?n+1,当a?n为奇数时若a?6=1,则m所有可能的取值为。一看便知,这是90年代风靡全美的“3x+1”问题。该题设计精巧,考查学生逆向思考的策略。
上述例子给我们的启示是:教师要多读名著,多看(解)名题 ,开阔视野,方能登高望远,“一览众山小”。
3. 信息迁移题
为提高公平性,也为了考查考生在新情境、新背景下解决问题的能力,命题专家(多为大学教授)常对高等数学中的重要概念、定理进行改编,或适当简化,或重新叙述,或考察特例,或改变设问方式,从而有效扼制“猜题”、“押题”。这类问题称为“即时定义题”,或“信息迁移题”。“迪里赫莱函数”,数域的概念,“李普希兹条件”,“线性相关与无关”,“一致收敛,“中值定理”,重要常数e(如证a?n=1+1n?n单调递增,证1+1n?nf?2(x)
(Ⅰ)求f(x)=f?1(x)对所有实数?x?成立的充分必要条件(用p?1,p?2表示);
(Ⅱ)设a、b是两个实数,满足a