众所周知,数学教学离不开解题。解题虽然不是数学学习活动的全部,但它却是数学学习的重要途径。数学知识常以问题的形式呈现,一个有价值的数学问题能很好地挑战学生的智慧、激活学生的思维,更大限度地激发学生的创造潜能。因此,如何充分发挥解题教学在数学教学中的功能,是每位数学教师都要认真思考、深入研究和努力实践的现实问题。要了解解题教学是否具有更高的教学效率,通常采用“考试”的办法来作为评价体系。所以,对解题教学的精心设计,其实质就是培养学生的创新思想,提升学生的应试素养。现结合乘法公式与因式分解的互逆变形谈一谈我在解题教学中的一点体会,希望能给大家带来一定的帮助与启示。
一、 正确理解概念、性质、公式、法则
数学中的定义、性质、公式、定理、运算法则等是进行解题的依据,只有准确地理解概念、熟练地掌握数学公式、定理、运算法则,才能顺利地进行解题,得到正确的结果。
例1 填空(计算下列各式)
1. a(b+c+d)=
2. (a±b)2=
3. (a+b)(a-b)=
4. (x+a)(x+b)=
分析 第1题是单项式乘多项式的法则;第2题是完全平方公式;第3题是平方差公式;第4题是关于x的两个一次二项式的乘法法则。如果将这四小题的左右两边对调,就得到了多项式的因式分解的基本方法。
例2 填空(将下列各式因式分解)
1. ab+ac+ad=
2. a2±2ab+b2=
3. a2-b2=
4. x2+(a+b)x+ab=
分析 第1题是多项式因式分解的提取公因式;第2、3题是多项式因式分解的运用公式;第4题是二次项系数为1的二次三项式的因式分解,通常也叫“十字相乘法”。这八个小题目应该是学生熟记和掌握的数学中的定义、性质、公式、定理、运算法则。如果学生不熟记这些,就无法正确、迅速地进行解题,就更谈不上解题的创新。
二、 在总结并掌握解题通法的基础上灵活运用概念、性质、公式和运算法则
在解题过程中,虽然方法因题而异,解题种类复杂繁多,但是每一种的数学解题都是有一定规律可循的,不少方法、法则还是具有共性的。
例3 先化简,再求值
1. (a+b)2-2a(a+b)其中a=3,b=2
2. 已知x2+y2+4x-6y+13=0,求xy的值。
分析 第1题的运算顺序是,先去括号,合并同类项,再代入求值。第2题就要通过适当变形,构成非负数之和等于0,求出x、y的值,再代入求值。这是解这类题型的通法。
第1题
解法一 原式=a2+2ab+b2-2a2-2ab=-a2+b2
当a=3,b=2时 原式=-32+22=-5
解法二 原式=(a+b)(a+b)-2a=(a+b)(-a+b)=-a2+b2
当a=3,b=2时 原式=-32+22=-5
第2题
解:由x2+y2+4x-6y+13=0可知:
x2+4x+4+y2-6y+9=0即(x+2)2+(y-3)2=0
故x+2=0,y-3=0,所以x=-2,y=3
当x=-2,y=3时,xy=(-2)3=-8
所以在教学中要善于总结这些带规律性的通法、通则,按照通法、通则进行解题,以提高解题的合理性,一般情况下总能求出正确的结果。但是这样往往会导致学生死记硬背法则、步骤,思维不灵活,即使所得结论正确,也往往会使解题过程冗长、繁琐、达不到迅速的要求。因此,要使学生灵活运用概念、性质、公式和法则进行解题。教师可结合教材内容,编制和收集一些灵活性较强、启发性较大的练习题,培养学生解题的灵活性,并引导学生收集、归纳、积累经验,形成熟练技巧,以提高解题的简洁性和迅速性。如上例中的第1题的解法二,第2题。特别是第2题,将13拆成4+9,构成了两个完全平方公式,这对于学生来说,这种拆项的方法,就是解题创新。
三、 在课堂教学中注意典型示范,让学生明确解题的目标、步骤及其依据
通过典型示范可使学生比较顺利地理解知识,过渡到应用知识形成解题能力。例4把下列各式因式分解:
1. x(x+2)+1
2. x(x+1)(x+2)(x+3)+1
分析 这两道题的共同特点是都不能直接运用公式,也没有公因式可提,要想因式分解,只有打破常规,重新组合才行。
1. 解:原式=x2+2x+1(单项式乘多项式的法则)
=(x+1)2(完全平方公式)
2. 解:原式=x(x+3)(x+1)(x+2)+1(乘法交换律)
=(x2+3x)(x2+3x+2)+1(单、多项式乘多项式的法则)
=(x2+3x)2+2(x2+3x)+1(单项式乘多项式的法则)
=(x2+3x+1)2(完全平方公式)
此例形式简单,但极具代表性。目标明确(因式分解),步骤规则(先打破常规,后重新组合),根据充分(见题中说明)。这类题型在开始练习时,要求学生准确地叙述解题目标,解题步骤以及解题依据,随着解题技能的熟练应逐渐简化解题步骤以便培养其解题能力。
四、 提高学生解题中的推理、创新能力
数学解题的实质就是根据概念、性质、公式和运算法则从已知数据及算式推导出结果的过程,也是一种推理、创新的过程。解题的正确与否取决于推理、创新是否正确,如果推理、创新不正确,则解题就出错。
例5 指出下列推理错在哪里?
设a=b≠0则有(a+b)(a-b)=(a-b)2
两边同除以(a-b)得:a+b=a-b
2b=0 b=0与题设相矛盾。
分析:这道题目具有挑战性,学生遇到后不仅觉得新颖,而且一心想搞清错误的原因,这样便激活学生的思维,更大限度地激发学生的创造潜能,经过分析研究最终发现:两边同除以(a-b),即等式两边同除以0,这是错误的(因为0不能做分母)。
例6 计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)
分析 这道题如果按照多项式乘多项式的通法来做的话,真的会使解题过程冗长、繁琐、达不到迅速的要求,乘法公式能用得上吗?完全平方公式显然是用不上的,平方差公式能吗?只有和,没有差怎么办呢?是否能创新一下,造一个差的式子呢?于是学生的创新火花被点燃了……
解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)
=……=264-1
例7 若二项式4m2+9加上一个单项式后是一个含m的完全平方式,则这样的单项式有()个。
A. 4B. 3C. 2D. 1
分析 按照通常的思维来说,只要在两项中央插入±12m即可,所以错选C。其实,还可以这样想,把4m2当作是两数积的2倍,插入首项49m4也未尝不可呀!故选B才是正确的。
例8 1×2+2×3=2×22,2×3+3×4=2×32,3×4+4×5=2×42,……
你能发现什么规律吗?
分析 这是一道推理、创新题,要求学生通过背景材料,进行观察、比较、分析、综合、抽象和推理,得出数学概念和规律,从而实现解题创新。从题面上看,这是一组等式,怎样才能得出一个通式呢?这就要将它化归成数学模型,即用字母表示数来探索此题中隐含的规律。等式的左边可以这样来假设:设第1个数为n(n为正整数),则第2、3个数分别为n+1和n+2,于是:
左边=n(n+1)+(n+1)(n+2)
=(n+1)n+(n+2)
=(n+1)(2n+2)
=2(n+1)2=右边
所以,发现的规律是:第n个等式可表示为n(n+1)+(n+1)(n+2)=2(n+1)2
因此,在教学中要激发学生学习数学的好奇心,不断追求新知,采用启发式、讨论式教学,加强师生合作、生生互动,让所有学生都积极参加讨论,激荡学生思维,激发学生独立思考,培养学生的科学精神的创新意识,形成学生获取新知识、发展新知识和运用新知识解决问题的能力,促进创新能力的发展。
五、 注重数学思想的发生、发展和形成过程,培养学生的动手操作能力
新课标非常重视学生的学习过程和动手操作能力,各级各类考试中都加强学生动手操作能力的内容,其目的是通过学生亲身体验数学结论的来历,在操作过程中获取“解决问题的经验”,“在学习过程中真正理解和掌握真正的数学知识和技能”,获得学习数学的成功体验,养成学生良好的动手、动脑和实验操作进行探究的学习习惯。
例9 数学活动:用拼图法进行二次三项式的因式分解。
活动材料:若干块如图所示的长方形和正方形硬纸板。(学生自己准备)
活动要求:用若干块这样的长方形和正方形硬纸板拼成一个新的长方形,通过不同的方法计算面积,探求相应的等式。(多做几次)
举例说明:由下图,
设小正方形的边长为a,大正方形的边长为b,长方形的长为b宽为a。我们有:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2 a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)
前式是乘法公式,而后者是二次三项式的因式分解。
实验探究
1. 任意选取若干块这样的硬纸板,尝试拼成一个长方形,计算它的面积,并写出相应的等式。
2. 任意写出一个关于a,b的二次三项式,如a2+5ab+6b2,试用拼一个长方形的方法,把这个二次三项式因式分解。
分析说明 只要学生多动手,多动脑,多实验,就一定能把这个问题解决的。即让学生用1块小正方形,5块长方形,6块大正方形拼一个既不重复、又不露空的长方形就可以了。不妨请你试一试。(说明:有的二次三项式是不能在有理数范围内因式分解的。)
六、 重视数学知识点间的、数学与其它学科间的联系与综合
学生学习数学,既要掌握知识层面上的灵活、变通,还要学会应用。这就是说,要让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息,数学在现实世界里也有着广泛的应用。
例10 已知a、b是任意有理数,设P=a2+b2,Q=2ab,则P、Q的大小关系是()
A. P>QB. P2,试比较A、B两块正方形面积的大小。
分析 比较两块正方形面积的大小,化归成数学模型就是比较两个数的大小,其数学方法是:若A>B,则A-B>0。反之,若A-B>0,则A>B。
解:A-B=(a+2)-(a2-a+5)=a+2-a2+a-5
=-a2+2a-3=-a2+2a-1-2=-(a-1)2-2
因为-(a-1)2≤0,所以-(a-1)2-21002=10000>9604所以计算错误。这种检验方法叫做估值法。
例15 因式分解 3x2y-6xy+3y
解:原式=3y(x2-2x+1)=3y(x-1)2
检验:利用乘法公式与因式分解的互逆变形对解题结果进行检验。这种检验方法叫做逆运算法。
除了上面三种检验方法外,还有还原法等多种检验方法。所以,养成检验、检查的习惯,提高解题过程的思维监控能力,这是形成和发展解题能力的具体要求之一,我们教师在教学中不可忽略这一重要环节。
八、 加强解题训练,提升应试素养
任何能力都是在一定的实践活动中形成和发展起来的。为了有效地提升学生的解题能力就必须加强训练,但并不是一味地增加习题量和练习的时间,也不是简单的重复,而是有计划、有选择地进行。即练习要有目的性(根据教学的要求练习)、系统性(根据知识面之间的联系,循序渐进地练习)、典型性(选择有典型意义的习题进行练习)。要变换练习方式,如:课内外练习,课内口答,板演,分组讨论,交流体会等。要采用多种变式,如:一题多变,一错多改,一题多解,一法多用,培养学生解题的熟练性、准确性、灵活性和组织性。并加强题组训练,培养学生解题过程的思维深刻性,提升学生的应试素养。
乘法公式与因式分解的题组演练
1. 多项式乘多项式的运算中,首先是转化成单项式乘多项式:
(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)这一步变形的依据是()
A. 加法结合律
B. 乘法交换律
C. 乘法结合律
D. 乘法分配律
2. 若(x-y)2+m=(x+y)2,则m等于()
A. 2xy
B. ±2xy
C. 4xy
D. ±4xy
3. 如果(3x-a)(x+1)的计算结果中不含x的一次项,那么a等于()
A. 0B. 1
C. 2D. 3
4. 已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式的乘积,则符合条件的整数a的个数为()
A. 6B. 8
C. 4D. 3
5. 计算:342+34×32+162
6. 已知物理学中的串联电路的总功率公式为:P=IU?1+IU?2+IU?3,若U?1=29.4,U?2=35.2,U?3=35.4,I=3.5,求总电压P。
7. 因式分解:
(1) -4x2+25(2) a(a-b)-b(b-a)
(3)am+an+bm+bn(4) x2-4xy+4y2+2x-4y+1
8. 已知a、b、c分别为△ABC的三条边长,你能用因式分解的知识说明b2+c2-a2+2bc一定是正数吗?请你试试看。
(孙昌彬 江苏省泗阳县临河中学 223723)