导数是高中数学新课程新增的重点内容之一,是连接初等数学与高等数学的桥梁,也是高考的热点.导数作为一种工具,在解决数学问题时应用极为方便,尤其是利用导数可以求函数的单调性、极值、最值以及曲线的切线.但在学习过程中由于概念不清而导致错误的情形也时常发生.本文拟对导数应用中常见的误区作一个简单的剖析.
1. 定义理解不透彻
例1 可导函数f(x)，若f′(a)=2，则当h无限的趋近于0时，f(a-h)-f(a)2h无限趋近于
错解：当h无限的趋近于0时，f(a-h)-f(a)2h等同于f(a-h)-f(a)h无限趋近于f′(a)=2
剖析：错误的原因是没有理清导数定义f(x?0+?Δ?x)-f(x?0)?Δ?x中?Δ?x是一个无限趋近于0的变量，它可以是一个代数式或一个数，但分子分母?Δ?x必须是一致的.
正确解法:f(a-h)-f(a)2h=-12•f(a-h)-f(a)-h，当h→0时，f(a-h)-f(a)-h→f′(a)，故f(a-h)-f(a)2h→-12•f′(a)=-1
2. 对导数的求导公式缺乏理解和记忆
例2 ?①? 已知函数f(x)=e??ax?，则f′(x)= ；② 已知函数f(x)=?sin?2x，则f′(x)=
错解：① f′(x)=(e??ax?)′=e??ax?；② f′(x)=(?sin?2x)′=?cos?2x
剖析：对于一些简单函数的求导,首先明确函数的类型,确定用导数的公式来求.① 的解法中使用了(e?x)′=e?x公式，而f(x)=e??ax?是一个简单的符合函数了，已不满足e?x的求导法则；② 的解法中使用了正弦函数的求导公式:(?sin?x)′=?cos?x,而函数f(x)=?sin?2x已经不再是单纯的正弦函数了，是一个简单的复合函数了.
正解:① f′(x)=(e??ax?)′=((e?a)?x)′=e??ax?•?ln?e?a=e??ax?•a，
② f′(x)=(2?sin?x?cos?x)′=2［(?sin?x)′?cos?x+?sin?x(?cos?x)′］=2(?cos??2x-?sin??2x)=2?cos?2x
也可以这样：f′(x)=(?sin?2x)′=?cos?2x•(2x)′=2?cos?2x
3. 几何意义应用有误
例3 已知曲线f(x)=12x?3-32x，过点P(1,-1)作曲线y=f(x)的切线，求曲线的切线方程.
错解：∵f(x)=12x?3-32x，∴f′(x)=32x?2-32，由题意知，点P(1,-1)在曲线y=f(x)上，又f′(1)=0 ∴过点P(1,-1)的切线方程为y+1=0•(x-1)，∴所求曲线的切线方程为y=1.
剖析:“在点P处的切线”与“过点P的切线”是两个不同的概念，“点P处的切线”斜率等于该点的导数值，而“过点P的切线”仅表明，切线是经过点P的，但直线未必在点P处与曲线相切，“过点P的切线的斜率”不一定是该点的导数值，即过点P但不以点P为切点的切线方程也是符合题意的.求曲线y=f(x)过点P(m,n)的切线方程步骤是:① 设切点坐标为M(x?0,y?0)，求出切线斜率f′(x?0)；② 写出切线方程y-y?0=f′(x?0)(x-x?0)；③ 把点P的坐标(m,n)代入切线方程中得到关于x?0、y?0一个方程；④ 把点M(x?0,y?0)代入y=f(x)中得到关于x?0、y?0另一个方程，联立两个方程求出切点坐标(x?0,y?0)；⑤ 由切点坐标写出切线方程.
正解：设切点为M(x?0,y?0)，则切线的斜率k=f′(x?0)=32x?2?0-32.∴切线方程为y-12x?3?0-32x?0=32x?2?0-32x?0(x-x?0).∵点P(1,-1)在切线上,代入切线方程,可得2x?3?0-3x?2?0+1=0,解得x?0=1,x?0=-12,∴切点M坐标为(1,-1)或-12,1116对应的切线斜率分别为0,-98,∴过点P的切线方程为y=-1或9x+8y-1=0.
变式：已知曲线C:y=ax?3+bx(a≠0)，点P(x?0,y?0)为曲线上异于原点的任意一点，曲线C在P点处切线l，求证直线l必于曲线C有另一个交点，并求其横坐标.
答案：另一个交点的横坐标为-2x?0.
4. 极值点的定义理解不清
例4 若函数f(x)=x?4+ax?3+2x?2-2有且仅有一个极值点,求a的取值范围.
错解：依题意得f′(x)=4x?3+3ax?2+4x=x(4x?2+3ax+4),令f′(x)=0,得x=0,4x?2+3ax+4=0,∵f(x)有且仅有一个极值点,∴4x?2+3ax+4=0无实根.∴?Δ?=9a?2-64＜0,即-83＜a＜83.
剖析：若x?0是可导函数y=f(x)的一个极值点，则有f′(x?0)=0且f′(x)在x?0（附近）的左右符号相反.所以，f(x)有一个极值点并不等价于f′(x)=0有且仅有一个实根，使f′(x)=0的点可能有多个，但不一定都为极值点.在方程4x?2+3ax+4=0中,当?Δ?=9a?2-64=0时,即a=±83时,f′(x)=4x(x+1)?2或f′(x)=4x(x-1)?2,此时，仍只有一个极值点x=0,故a=±83,也符合条件.所以a的取值范围-83,83.
变式：① 若函数f(x)=x?4+ax?3有且仅有一个极值点,求a的取值范围.
② 若函数f(x)=x?3-ax?2+x有两个极值点，求a的取值范围.
答案：① a∈R.② a∈(-∞,-3)∪(3,+∞).
5. 导数与函数单调性的关系理解不透
例5 已知函数f(x)=ax?3+3x?2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围.
错解:依题意,得f′(x)=3ax?2+6x-1,∵f(x)在R上是减函数,∴f′(x)＜0在R上恒成立,即3ax?2+6x-1＜0对一切x∈R恒成立,当a=0时,不合题意.当a≠0时,a＜0??Δ?=36+12a＜0,解得a＜-3
剖析:函数的单调性与导数的关系:设函数y=f(x)在某个区间内可导,则当f′(x)＞0时,f(x)为增函数,解得的x的范围为函数f(x)的递增区间;当f′(x)＜0时,f(x)为减函数,解得的x的范围为函数f(x)的递减区间;反之,如果函数f(x)在某区间上恒增(或减),则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,所以f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数在某对应区间递增(或减)的充分不必要条件.
正解:∵f(x)在R上是减函数,∴f′(x)≤0在R上恒成立,解得a≤-3.