篇一：2015天津高考试题理科数学
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分
参考公式：
如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立，
P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．
柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh
其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积，
h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．
第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集U??1,2,3,4,5,6,7,8? ，集合A??2,3,5,6? ，集合B??1,3,4,6,7? ，则集合
A∩C u B=
（A）?2,5? （B）?3,6? （C）?2,5,6? （D）?2,3,5,6,8?
?x?2?0?（2）设变量x,y 满足约束条件?x?y?3?0 ，则目标函数z?x?6y的最大值为
?2x?y?3?0?
（A）3（B）4（C）18（D）40
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为
（A）?10 （B）6（C）14（D）18
（4）设x?R ，则“x?2?1 ”是“x?x?2?0 ”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
2
（5）如图，在圆O 中，M,N 是弦AB 的三等分点，弦CD,CE分别经过点M,N .若CM?2,MD?4,CN?3 ，则线段NE 的长为
（A）
8105 （B）3（C） （D） 332
x2y2
（6）已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?
的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个
ab?焦点在抛物线y2? 的准线上，则双曲线的方程为
x2y2x2y2
?1 ??1 （B）?（A）28212128
x2y2x2y2
??1 （D）??1 （C）3443
（7）已知定义在R 上的函数f?x??2x?m?1 （m 为实数）为偶函数，记
a?f(log0.53),b?f?log25?,c?f?2m? ，则a,b,c 的大小关系为
（A）a?b?c（B）a?c?b
（C）c?a?b（D）c?b?a
??2?x,x?2,（8）已知函数f?x??? 函数g?x??b?f?2?x? ，其中b?R ，若2???x?2?,x?2,
函数y?f?x??g?x? 恰有4个零点，则b的取值范围是
（A）?7??7??,??? （B）???,? 4??4??
7?
4??7?,2? ?4?（C）?0,? （D）??
?
第II卷
注意事项：
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡
上.
2、本卷共12小题，共计110分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）i 是虚数单位，若复数?1?2i??a?i? 是纯虚数，则实数a的值为 .
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），
则该几何体的体积为m .
（11）曲线y?x2 与直线y?x 所围成的封闭图形的面积为3
1??2x（12）在?x? 的展开式中， 的系数为. ?4x??
（13）在?ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知?
ABC的面积为，6
1b?c?2,cosA??, 则a 的值为. 4
（14）在等腰梯形ABCD 中,已知AB//DC,AB?2,BC?1,?ABC?60 ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且BE??BC,DF?1DC,则AEAF的最小值为. 9?
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分13分）已知函数f?x??sinx?sin?x?22?
????，x?R 6?
(I)求f(x)最小正周期；
(II)求f(x)在区间??
16. （本小题满分13分）
为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择(本文来自：WwW.dXf5.coM 东星 资源网:天津高考数学14)4人参加比赛.
(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”????,?上的最大值和最小值. 34??
求事件A发生的概率；
(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
17. （本小题满分13分）
AB=
1, 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A?底面ABCD,AB?AC,
AC=AA1=2,AD=CD且点M和N分别为B1C和D1D的中点.
(I)求证： MN∥平面ABCD
(II)求二面角D1-AC-B1的正弦值；
(III)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为的长
1，求线段A1E3
18. （本小题满分13分）
已知数列{an}满足an?2?qan(q为实数，且q?1)，n?N,a1?1,a2?2，且*
a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.
(I)求q的值和{an}的通项公式；
篇二：2015年天津高考理科数学试题及答案解析(word精校版)
2015年天津高考理科数学试题及答案解析
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分
参考公式：
如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立，
P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．
柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh
其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积，
h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．
第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集U??1,2,3,4,5,6,7,8? ，集合A??2,3,5,6? ，集合B??1,3,4,6,7? ，则集合 A∩C u B=
（A）?2,5? （B）?3,6? （C）?2,5,6? （D）?2,3,5,6,8?
?x?2?0?（2）设变量x,y 满足约束条件?x?y?3?0 ，则目标函数z?x?6y的最大值为
?2x?y?3?0?
（A）3（B）4（C）18（D）40
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为
（A）?10（B）6 （C）14
2（D）18 （4）设x?R ，则“x?2?1 ”是“x?x?2?0 ”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）如图，在圆O 中，M,N 是弦AB 的三等分点，弦CD,CE分别经过点M,N .若CM?2,MD?4,CN?3 ，则线段NE 的长为
（A）8 3 （B）3 （C）103（D）5 2
x2y2
（6）已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?
的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛
ab?物线y2? 的准线上，则双曲线的方程为
x2y2x2y2
?1 ??1 （B）?（A）28212128
x2y2x2y2
??1 （D）??1 （C）3443
（7）已知定义在R 上的函数f?x??2x?m?1 （m 为实数）为偶函数，记
a?f(log0.53),b?f?log25?,c?f?2m? ，则a,b,c 的大小关系为
（A）a?b?c（B）a?c?b
（C）c?a?b（D）c?b?a
??2?x,x?2,（8）已知函数f?x??? 函数g?x??b?f?2?x? ，其中b?R ，若函数2???x?2?,x?2,
y?f?x??g?x? 恰有4个零点，则b的取值范围是
（A）?7??7??,??? （B）???,? 4??4??
?
?7?4??7?,2? 4??（C）?0,? （D）?
第II卷
注意事项：
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2、本卷共12小题，共计110分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）i 是虚数单位，若复数?1?2i??a?i? 是纯虚数，则实数a的值为 .
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m
. 3
（11）曲线y?x2 与直线y?x 所围成的封闭图形的面积为1??2x（12）在?x? 的展开式中， 的系数为?4x??
（13）在?ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知?
ABC的面积为 ，6
1b?c?2,cosA??, 则a 的值为4
（14）在等腰梯形ABCD 中,已知AB//DC,AB?2,BC?1,?ABC?60 ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且BE??BC,DF?1DC，EAF的最小值为 . 则A9?
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分13分）已知函数f?x??sinx?sin?x?22?
????，x?R 6?
(I)求f(x)最小正周期；
(II)求f(x)在区间??
????,?上的最大值和最小值. ?34?
16. （本小题满分13分）
为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；
(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
17. （本小题满分13分）
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A?底面ABCD,AB?AC,AB=1,AC?AA1?
2，AD?CD?且点M和N分别为B1C和D1D的中点.
(I)求证： MN∥平面ABCD
(II)求二面角D1-AC-B1的正弦值；
(III)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为1，求线段A1E的长 3
篇三：14年高考真题——文科数学(天津卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津）卷
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。 1．i是虚数单位，复数
7+i
= ()
3+4i
17311725+i（D）-+i 252577
（A）1-i（B）-1+i（C）
?x?y?2?0?
2．设变量x,y满足约束条件?x?y?2?0，则目标函数z?x?2y的最小值为()
?y?1?
（A）2 （B）3（C）4 （D）5
x
3．已知命题p：?x?0，总有?x?1?e?1，则?p为 ( )
（A）?x0?0，使得?x0?1?e0?1 （B）?x0?0，使得?x0?1?e0?1
x
x
（C）?x?0，总有?x?1?e?1 （D）?x?0，总有?x?1?e?1
x
x
4．设a?log2?，b?log2?，c??
?2
，则( )
（A）a?b?c （B）b?a?c （C）a?c?b （D）c?a?b
5．设?an?是首项为a1，公差为?1的等差数列，Sn为其前n项和。若S1,S2,S4成等比数列，则a1=（） （A）2 （B）?2 （C）
11 （D）? 22
x2y2
6．已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，
ab
双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）
x2y2x2y2
=1 -=1（B）-（A）
205520
（C）
C
3x3y3x3y
-=1 （D）-=1
2510010025
2222
B
7．如图，?ABC是圆的内接三角形，?BAC的平分线交
圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分
?CBF；②FB2?FD?FA；③AE?CE?BE?DE；④AF?BD?AB?BF。则所有正确
结论的序号是（ ）（A）①② （B）③④（C）①②③ （D）①②④
8．已知函数f?x???x?cos?x???0,x?R?，在曲线y?f?x?与直线y?1的交点中，若相邻交点距离的最小值为（A）
?
，则f?x?的最小正周期为( ) 3
?2?（B）（C）?（D）2?
32
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查。已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生。
10．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为___________m。
11．阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S的值为________。
12．函数f?x??lgx2的单调递减区间是__________。 13．已知菱形ABCD的边长为2，?BAD
3
正视图侧视图
俯视图
1200，点E,F分别在边
BC,DC上，BC=3BE，DC??DF。若AE?AF
_________。
2
1，则?的值为
??|x?5x?4|?x?0?
14．已知函数f?x???，若函数y=f(x)-a|x|
?x?0???2|x?2|
恰有4个零点，则实数a的取值范围为_________。
三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学
A,B,C和3名女同学X,Y,Z，其年级情况如右表。现
从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选中的可能性相同）。⑴用表中字母列举出所有可能的结果；⑵设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发表的概率。
16．（本题满分13分）在?ABC中，角A,B,
C所对应的边分别为a,b,c，已
知
a?c?b，sinB?C。⑴求cosA的值；⑵求
???
cos?2A??的值。
6??
17．（本小题满分13分）如图，四棱锥P-ABCD的底
C
D
E
A
面ABCD
是平行四边形，BA=BD=
AD=
2，PA=PD=E,F分别是棱
AD,PC的中点。⑴证明：EF//平面PAB；⑵若二面角P-AD-B为600。①证明：平面PBC⊥平面ABCD；②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值。
x2y2
18．（本小题满分13分）设椭圆2?2?1?a?b?0?的的左、右焦点为F1,F2，右顶
ab
点为A，上顶点为B
。已知|AB|=
|F1F2|。⑴求椭圆的离心率；⑵设P为椭圆上异于其M
，顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点
|MF2|=，求椭圆的方程。
19．（本小题满分14分）已知函数f?x??x?
2
23
ax?a?0,x?R?。⑴求f?x?的单调3
区间和极值；⑵若对于任意的x1??2,???，都存在x2??1,???，使得f?x1??f?x2??1，求a的取值范围。
20．（本小题满分14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合
M={0,1,2,
,q-1}，集合A={xx=x1+x2q+
+xnqn-1,xi M,i=1,2,
,n}。
⑴当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；⑵设s,t?A，s=a1+a2q+
+anqn-1，
t=b1+b2q+
+bnqn-1，其中ai,bi?M?i?1,2,,n?。证明：若an?bn，则s?t。
2014年普通高校招生全国统考数学试卷（天津卷）解答
一．ABBCD ADC
二．9．60；10．20p；11．?4；12．???,0?；13．2；14．?1,2?
15．解：⑴从6名同学中随机选出2人参加竞赛的所有可能结果为?A,B?,?A,C?,?A,X?,
?A,Y?,?A,Z?,?B,C?,?B,X?,?B,Y?,?B,Z?,?C,X?,?C,Y?,?C,Z?,?X,Y?,?X,Z?,?Y,Z?
共15种；
⑵选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为
?A,Y?,?A,Z?,?B,X?,?B,Z?,?C,X?,?C,Y?共6种，故所求概率为P?M???5。
16．解：⑴在?ABC中，由
bc
?，
及sinB?
sinBsinC
故a?2c，
C可得b?，
b2?c2?a2222从而cosA?； ??2bc4
⑵由⑴得cosA?
，故sinA?
，因此sin2A?2sinAcosA?1??11?
cos2A?2cos2A?1??
，从而cos?2A???? ?
46?42?
17．解：⑴如图，取PB的中点M，连接MF,AM。因F为PC的中点，故MF//BC且MF?BC2。由题BC//AD，
F
PD
A
BC?AD，且E为AD的中点，故MF//AE，且MF?AE。C
因此四边形AMEF为平行四边形，有EF//AM。又AMD平面PAB，EF?平面PAB，所以EF//平面PAB；
⑵①连接PE,BE，因PA=PD，BA=BD，而E为AD
E
的中点，故PE^AD，BE^AD，所以DPBE为二面角P?AD?B的平面角。在?
PAD中，由PA=PD=
AD=2，可解得PE=2。在?
ABD中，由BA=BD=，
AD=2，可解得BE=1。在?PEB中，PE=2，BE=1，?PEB
解得PB=
从而?PBE600，由余弦定理可
E^BC。900，即BE^PB。又BC//AD，BE^AD，故B
因此BE^平面PBC。又BED平面ABCD，所以平面PBC?平面ABCD；
②连接BF，由①知BE^平面PBC，故DEFB为直线EF与平面PBC所成的角。由
PB=?
ABP900。而MB=2=
，可得AM=
。故BEEF=。所以直线
EF=。又BE=1，故在RtD
EBF中，sin?EBF
EF与平面PBC
所成的角的正弦值为。
18．解：⑴设椭圆的右焦点F2(c
,0)，由AB=
1F2，可得a2+b2=3c2，又c21b=a-c，则2=
，故椭圆的离心率e=；
a22
2
2
2
x2y2
⑵由⑴知a=2c，b=c，故椭圆方程为2+2=1。设P(x0,y0)，由F1(-c,0)，
2cc
2
2
2
2
B(0,c)，有F1P=(x0+c,y0)，F1B=(c,c)。由已知，有FP1?FB1
0，即
(x0+c)c+y0c=0。又c1
0，故有x0+y0+c=0。又因为点P在椭圆上，故
4cx02y022
Px=-+=1。因此可得。而点不是椭圆的顶点，故，从而3x+4cx=000022
32cc
得y0=
骣4cc÷c22
x=-cy=c，进而圆的半，即P?。设圆的圆心为，则，-,Tx,y()÷?1111÷?桫33333
径
r=
=
2
2
。由已知有|TF2|2?|MF2|2?r2?8?r2，故可得3
22
骣2鼢骣2xy522珑=1。 c+c鼢+0-c=8+c，解得c=3。所以所求椭圆方程为+珑珑桫3鼢桫3639
19．解：⑴由题f￠(x)=2-2ax(a>0)，令f￠(x)=0可得x?0或x?a。当x变
2
化时，f￠(x)，f(x)的变化情况如右表。故f(x)的单增区间是
(a)，单减区间是???,0?和
?a,???。当x?0时f(x)有极
2
小值f(0)=0，当x?a时f(x)有极大值f(a)=3a)；