篇一：关于中学数学知识和大学数学知识的一些比较
关于中学数学知识和大学数学知识的一些比较
中文摘要
数学有着广泛的应用，尤其在当今的信息时代. 我们必须对数学的基本原理和方法有很好的理解. 本论文就一些中学数学知识和大学数学知识进行比较. 全文分为两个部分，分别对极限、不等式进行阐述，并通过典型的例子进行说明.
关键词：极限，不等式
A Comparison of Knowledge between College Mathematics and Middle School Mathematics
Abstract
Mathematics is used in varying degrees in every single aspect of our daily lives, especially in the information age. We need to have a strong understanding of the fundamentals and methods of mathematics. The purpose of this study is to compare the knowledge and understanding of college mathematics and middle school mathematics. This paper is divided into two sections, it discusses limit and inequality, some examples are also given to illustrate typicals methods for solving problems.
Keywords: limit ,inequality;
引言
在中学和大学数学课程中，都有极限、不等式这两部分的内容. 但是通过对大学数学的学习，我们的知识水平和理解能力都有很大的提高. 本文就上面提到的两个知识点,用大
学的观点进行探讨，旨在培养自觉学习、勤于思考的习惯和勇于钻研的精神.
同时，我研究此课题，不仅仅是想对自己大学四年所学的基础数学知识作一个比较简短的总结，更是想使未来从事中学教师岗位的大学生对中学教学内容中某些理论深度有进一步了解，对实质性的认识进一步深化，对不够完整的知识进一步充实，掌握初等数学方法，从而提高大学生对大学数学的重视.
此次研究,我得到了牧立武老师的指导,他仔细审查和修改了我的课题,叫我受益匪浅,我表示衷心的感谢.
一、极限
学习极限是从一个“有限”到无限的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极
限问题是认识和解决问题的需要.
极限又分数列极限及函数极限.下面将分别对它们作出一些简单的探讨.
1.1 数列极限
在高中，我们就已经开始接触了数列极限，总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点培养的是学生的解题能力，注重的是理性思维培养和备考能力提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义来证明某一命题的正确性，强化锻炼的是学生的抽象思维能力及逻辑思维能力.
高中我们给出了数列极限的概念：
如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a(即an?a无限地趋近0)，那么就说数列{an}以a为极限，或者说a是数列{an}的极限.
数学分析里边也给出了数列极限的概念：
一般地说，对于数列{an}，若当n无限增大时，an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛数列.
中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了“收敛”这一词，也由此给出了收敛数列及其极限的精确定义.
定义1.1 设{an}为数列，a为定数，若对???0,总存在正整数N，使得当n?N时，有
an?a<?,
则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限.并记作liman?a,或an?a?n???.
n??
若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛或称{an}为发散数列.
有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义（又称＂??N＂定义）来证明高中数列极限中所用的结论.
例1-1 证明lim
a*
??. a,k均为常数，k且?N?0
n??nk
a
?0.这仅仅局限于直观得出结论，
n??nk
然而，在大学，我们可以通过极限的＂??N＂定义来证明这个结论的正确性.
在中学，我们直观地知道，当n??时，nk=?，lim
?aaaak
证明：由k?0??，有k??，即?n，n?????nn??
?. ??
1k
1
??k??a
????1，则当n?N时，有 对???0，?N?????????????
a
?0??, kn
即lim
a
?0. n??nk
利用”??N”定义，同样可以证明在中学就常用的数列极限的四则运算法则.
n??
例1-2 证明 lim?an?bn??a?b，其中（liman?a,limbn?b）.
n??
n??
证明：由于liman?a,limbn?b，
n??
n??
故对于???0，分别存在正数N1，N2，使得
当n?N1时,有an?a<? ; （1） 当n?N2时,有bn?b<? . （2）
取N?max{N1,N2},当n?N时，上述两式不等式成立.即有
anbn?ab??an?a?bn?an?bn?b??an?abn?anbn?b.
由收敛数列的有界性定理，?M?0,对一切n，有bn?M.因此，当n?N时，由（1）、（2）、（3）式可得
anbn?ab??M?a??.
又由?的任意性，因此有lim?an?bn??a?b.
n??
在数学分析教材里，还给出了数列极限的一种等价定义
定义1.2 对???0，若在U?a;??之外，数列{an}中的项至多只有有限个，则称数列{an}收敛于极限a.
有时用此定义证明某些数列极限问题更为简便.
例1-3 设limxn?limyn?a，数列?zn?为:x1,y1,x2,y2,......xn,yn......
n??
n??
证明 limzn?a.
n??
证明：由limxn?limyn?a，故
n??
n??
篇二：通过高考试卷研究谈高三数学教学的有效性
通过高考试卷研究谈高三数学教学的有效性
昌国良湖南师范大学数学与计算机科学学院
把握高考命题的导向 明确学生应考的差距 找准课堂教学的对策
实施新课程后的第一次高考已尘埃落地，这次指挥棒指向了哪里？我们的学习该朝什么方向努力？从高考数学试卷的分析中或许能找到答案。
湖南高考数学试卷保持了几年来自主命题所形成的命题风格和试题特色。试卷在整体上紧扣考纲，紧密结合教材，体现了新课程的思想和理念，体现了“知能并重、深化能力立意；突出对创新意识和作为数学核心的思维能力的考查；注重对数学应用意识的考查；充分区别文、理科考生不同的学习要求”的基本风格和特色。试卷做到了总体保持稳定，题型清新，难度适中。坚持“多考一点想，少考一点算”的基本理念，对思维量与运算量作出了精心地调控。
1．试卷指向
1.1试卷突出了三个全面考查
2010年的试卷全面落实了“考试说明”的基本要求，在数学基础知识，基本的数学思想方法，数学基本能力等方面的考查目标都已落实到位。
突出了对课标新增知识内容的全面考查
2010年的文、理试卷都保持了湖南卷一贯的考查风格，考查基础知识在平淡中见深刻，力求试题设计的创新而不刻意追求知识点的覆盖面。在题型的分值分布中沿用同一思想，以下是近四年题型、题量和分值分布(见表1.1)和主要考查内容所占分值统计情况(见表1.2)。
2010年数学高考试题对课标新增内容作出了全面考查。比如试题对算法与框图、三视图、几何概型、定积分、推理证明以及选修系列四的几何证明选讲、不等式选讲、坐标系与参数方程、优选法与实验设计初步等内容都用了5分的分值进行考查。这些试题难度不大，很好的体现了课改精神和新课程理念。通过新增试题充分考查学生的思维品质和数学素养，强调考查学生的应用意识，同时启示中学数学新课程改革需注重培养学生应用数学知识解决各种数学内外问题的意识，使学生加深对数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系，并学会用数学知识和方法解决一些实际问题。
突出了对课标强调的基本数学思想方法的全面考查
2010年湖南省数学高考题以基本知识为载体，蕰含对基本数学思想方法的全面考查。数学思想方法的掌握是解决数学问题的关键，试题对课标中强调的数学思想方法的考查突出体现在：
(1)分类与整合的思想方法，如理8、15、19、20、21，文15、16、19、20、21等题；
(2)转化与化归的思想，如理3、6、10、14、16、18、19、20、21，文4、5、6、7、16、18、19、20、21等题；； (3)数形结合的思想方法，如理3、4、8、10、13、14、18、19等题，文科7、8、13、14、18、19等题； (4)函数与方程的思想方法，如理3、8、14、16、19、20、21，文8、16、19、20、21等题； (5)或然和必然的思想的方法，如文理的17题； (6)有限与无限的思想方法：如理21，文20等题； (7)特殊与一般的思想方法：如理20、21，文19、21等题。 突出了对课标强调的数学基本能力的全面考查
2010年较好地体现了“能力立意”命题指导思想的重要命题思路。全面地考查了课标中提出的五大基本能力。考查空间想象能力的有理3、6、8、10、13、14、18、19，文4、5、6、7、8、13、14、18、19、20。考查抽象概括能力的有理15、19、20、21，文8、15、19、20、21，考查推理论证能力的有理15、19、20、21，文8、15、19、20、21，考查运算求解能力的有理文所有解答题，考查数据处理能力的有理17，文12、17题，文理科的19题与理科的20题都出现了简单快捷的好方法，很好地体现了学生的转化与创新能力。数学能力的考查属于高层次考查，主要以基础知识为载体，通过引入新素材，呈现新情境，设置新问题等途径来实施。整套试题全面考查了考生的数学素养和数学思维能力，并为考生提供了展示能力的空间和机会。 1.2 试卷突出了对课标强调的两个意识的重点考查
在文理科试卷中分别设计了两道应用性试题理、文17、19题，考查考生将实际问题抽象为数学问题，应用数学知识分析、解决实际问题的能力。例如文科19、理科19题，以冰川融化为背景，反映当前社会热点问题，凸显数学的应用性，考查考生应用数学解决实际问题的能力，考查考生数学建模的能力和数学应用意识。试题涉及的考点比较广泛，要求综合运用了直线、圆、椭圆、等比数列等基本知识解决问题，主要考查学生正确理解题意，建立数学模型，进而解题。这就要求学生必须具备扎实的基础知识和一定的“转化”能力。
考查创新意识的有理15、21，文15、20等。比如理、文15题以创新性题型引入新概念，考查考生在新情境中解决问题的能力，较好地考查了学生的阅读能力、理解能力、探究能力和独立解决问题的能力。为考生展现创新意识创设了广阔空间。 1.3 试卷体现了对知识的综合运用的考查
在知识网络的交汇点命题用于考查考生对数学知识之间联系及转化的掌握情况与解决问题的能力。2010年数学高考试题很好的把握了这个命题思路，许多题特别是解答题处于各主干知识的网络交汇点，如文理的18，19，20，21等题。考生需要综合思考，灵活运用所学各类知识和思想方法进行合情推理解答这些问题。如理科20题将导数、函数方程、不等式的运用等知识结合在一起；文科20题则将数列、平均数等知识结合在一起；理科21题将数列、导数、数学归纳法、函数与不等式等知识结合在一起；文科21题则包含了导数、函数与方程、不等式求解等知识。要求考生具备较为清晰的数学思维、较高的数学素养以及良好的个性品质。 1.4 试卷体现了层次分明的难度设计
在文科、理科的整套试卷中，进一步加大了基础题的份量，整体难度较往年有了较大的下降，试题起点难度明显降低。试卷从整体上由易到难，层次分明；而选择、填空、解答题三大题型内部也是由易到难，层次分明。这样使数学低水平层次的考生也有较多机会得分，体现了以人为本的人文关怀教育理念。由于在前面的题难度较小，使考生有时间解答后面的难题，原本少有学生作答的，最后两道难题，今年作答学生大比例提高。文理18、19、20三道较难题（共占39分）起点低，坡度好，考生容易入手找到解题思路，但又难得满分，较好地考查了考生的综合性数学能力和学习潜能。今年继续采用分散设置把关点的做法，三大题型各有把关点，用于甑别数学能力较强的考生，综合题降低了入门“门槛”，体现出了很好的区分功能选拔功能。
文科、理科考生在数学思维方面的水平有整体性的差异，对数学学习的层次要求也有很多的不同。2010年的试题充分考虑文、理科考生的差异 实现文、理不同题，仍然很好的把握了这种差异性，在考查主干知识大致相同的情况下，在考查方式、考查能力层次方面进行了很好的区分。文理全卷仅13题及理科第6题与文科第7题(占10分)完全一致，相似而难易程度不同的题有文理科的11题、文科的第3题与理科的第4题、文科的第5题与理科的第14题、文科的第10题与理科的第9题、文科的第16题与理科的第16题、文科的第18题与理科的第18题、文科的第19题与理科的第19题，其他题则完全不同。
1.5 试体现了重视回归教材，考查考生“双基”的命题思路
2010年的试卷重视回归教材，对基本知识的考查。基础题以课本中的例习题为素材，通过变形、延伸、拓展来命制，涉
及1-2个知识点，只需简单计算和判断就可获得答案。文理科第11、16、18题背景均源自教材，经适当加工改造而成，思维切入容易，解法思路开阔。比如文理科第18题主要考查了空间线面关系、直线和平面所成角的概念和计算、异面直线所成角等知识点，从考生答题情况可以发现，由于基础知识不扎实，基础技能不过硬而造成失分的现象普遍存在。这些题的设计对引导中学数学教学重视基础训练，防止单纯追求解题的数量与速度、教学赶进度、超纲训练的倾向具有良好的导向作用。
2010年湖南省数学高考题淡化了复杂繁琐的计算和特殊的技巧，在三角计算、概率计算、立体几何计算、解析几何题的计算中都在数据设计、方程设计、函数设计等方面做了精心调控，有意降低了计算量，较好的考查了学生的数学思维能力和学习潜能，为数学高水平层次考生提供了展示数学能力的时间和机会。
2 考生应答反应
2.1 理科考生应答反应 2.1.1整体成绩统计:
对于人工评卷部分(包括填空题35分和解答题75分)，考生的平均分、标准差、难度、0分率及满分率见表. 2.1
2.1.2 理科填空题:
2.1.2.1得分情况: 本题满分35分，平均分22.5分.得分分布见下图.
2.1.2.2．试题分析:
本题主要考查了优选法、概率、计算机程序框图设计、数列、几何选讲、三视图和解析几何等相关知识点,检验学生在试验分析中对0.618法的运用能力,对概率、几何、数列的概念等相关知识及数学思想方法的熟练程度及分析问题和解决问题的
能力.试题难易程度适中,其中9—14题得分较高, 15题得分较低. 从考生得分分布来看,本填空题的区分度较高,信度好. 2.1.2.3 学生失分主要原因:
(1)考生书写欠规范,对题意的理解不深入,欠仔细. (2)知识融会贯通的能力及空间想象能力还有待提高.
(3)从15题可知,考生对复杂概念的理解、分析和解决问题的能力较弱. 2.1.3 理科16题
2.1.3.1 得分情况: 本题满分12分，平均分7.34分. 得分分布见下图
2.1.3.2 试题分析
本题注重三角函数通法考查,难度偏易.主要考查了三角函数恒等变换及三角函数求角的取值范围,同时考查考生的运算求解能力.
2.1.3.3 考生失分主要原因
(1)学生基础不扎实,公式运用不熟练.不能熟练运用倍角公式(降幂公式): sinx?式2x?cos2x?2sin(2x?){或2cos(2x?)}
2
1?cos2x
和辅助角公2
63
(2)考生运算能力较弱,粗心大意.如系数化1时,未及时在等式两边同除以倍数2;结果表达式中漏2倍或—1,或者缺少三角函数周期.
(3)考生书写欠规范.主要表现在集合表达形式的书写不规范. 2.1.4 理科17题
2.1.4.1 得分情况:本题满分12分，平均分9.08分. 得分分布见下图
篇三：华东师范大学2015届高三数学综合练习(2)
高三数学综合练习（2）
（时间120分钟，满分150分）
一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）
?1、已知向量a?(2,m),b?(?1,1)，若向量a与b垂直，则m等于_______.
3?,2?),cot???2,则sin?2、已知??(2
x?11
3、不等式. 1?1的解集为_______?1x
234、已知球的表面积为20?cm，则该球的体积为 cm.
5、函数y?f(x)的反函数为y?log2(x?1)?1(x?0)，则f(x)?_______.
6、(理科)圆的极坐标方程为??2cos??sin?，则该圆的半径为________．
(文科) 在等差数列?an?中，a1?2，公差不为零，且a1,a3,a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数???列公比的值等于__________.
m??37、二项式?x??的展开式中x的系数为10，则实数m等于. x??
2228、在?ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若b?c?a?bc，????????且AC?AB??4，则?ABC的面积等于 ___．
9、如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切
圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设sn为前n个圆的面积之和，则5
limsn= ． n??
210、已知关于x的实系数一元二次方程x?|z|x?1?0(z?C)有实数根，则
|z?1?i|的最小值为
.
11、对于定义在R上的函数f(x)，有下述命题：
①若f(x)是奇函数，则f(x?1)的图象关于点A（1，0）对称
②若函数f(x?1)的图象关于直线x?1对称，则f(x)为偶函数
③若对x?R，有f(x?1)??f(x),则2是f(x)的一个周期
④函数y?f(x?1)与y?f(1?x)的图象关于直线x?1对称.
其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）
12、从集合A???1,1,2中随机选取一个数记为k，从集合B???2,1,2?中随机选取一个数记为b，则直线y?kx?b不经过第三象限的概率为 .
?|lgx|,x?013、设定义域为R的函数f(x)??2, 若关于x的函数y?2f2(x)?3f(x)?1的零点的个??x?2x,x?0
数为___ ．
14、如图,在三棱锥P?ABC中, PA、PB、PC两两垂直,且PA?3,PB?2,PC?1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)?(m,n,p),其中m、n、p分别是三棱锥M?PAB、 三棱锥M?PBC、三棱锥
11aM?PCA的体积.若f(M)?(,x,y),且??8恒成立,则正实数a的最小值为
________. 2xy
二、选择题：（本大题20分）
15、设x?R，则“|x?1|?1”是“x?3”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
111????的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( ) 3519
A．i?10 B．i?10 C．i?9 D．i?9
?????????????????17、已知向量OB?(2,0),|CA|?2，OC?(2,2),则OA与OB夹角的最小值和最大值依次是（） ?5??5?5???,, A.0, B.,C. D.41212121224
x2x2
2?y2?1(n?0)，P是它们的一个交?y?1(m?1)和双曲线18、已知有相同两焦点F1、F2的椭圆nm16、如图给出的是计算S?1?
点，则ΔF1PF2的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随m,n变化而变化
三、解答题（本大题共5小题，满分74分）.
19、（本题满分12分）(理科)小明购买一种叫做“买必赢”的彩票，每注售价10元，中奖的概率为2％， 如果每注奖的奖金为300元，那么小明购买一注彩票的期望收益是多少元？
?2x?y?0,x?y?2??1?(文科)已知实数x,y满足约束条件?x?3y?5?0,则z???的最大值等于___ ． ?2??y?1,?
20、（本题满分14分）如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为矩形，PA?AB?2,AD?2AB，PA⊥平面ABCD， E，F分别是BC，PC的中点。 （1）求异面直线PB与AC所成的角的余弦值；
（2）求三棱锥A?EFD的体积。
21、（本题满分14分）已知数列?an?是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足2an?S2n?1，n?N*．数列?bn?满足bn?11，Tn为数列?bn?的前n项和． ?anan?1
(1)求a1、d和Tn；
(2)若对任意的n?N*，不等式?Tn?n?8?(?1)n恒成立，求实数?的取值范围；
22、（本题满分16分）定义：对函数y?f(x)，对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数x0，使得f(x0?k)?f(x0)?f(k)，则称函数f(x)为“k性质函数”。
1（1） 判断函数f(x)?是否为“k性质函数”？说明理由； x
a（2） 若函数f(x)?lg2为“2性质函数”，求实数a的取值范围； x?1
xx2（3） 已知函数y?2与y??x的图像有公共点，求证：f(x)?2?x为“1性质函数”。
23、（本题满分18分）设抛物线C:y2?2px(p?0)的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1,P2两点，已知|P1P2|?8.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设m?0，过点M(m,0)作方向向量为d?(1,)的直线与抛物线C相交于A,B两点，求使?AFB为钝角时实数m的取值范围；
（3）①对给定的定点M(3,0)，过M作直线与抛物线C相交于A,B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由。 ②对M(m,0)(m?0)，过M作直线与抛物线C相交于A,B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明） ?
高三数学综合练习（2）参考答案
3、[?1,0) 4、（理） （文）4 7、2 8、2 9、? 5、2x?1?1(x?1) 6、532
24?r2 10、2?2 11、①②③④ 12、 13、7 14、1 B 、A 、C、B 9
19、（理）解：E??(300?10)?2％+（-10）?98％=-4(元),答：所求期望收益是-4元。 1、2 2、?
（文）8
20、解： （1）建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2),B(2,0,0)，
C(2,4,0)，?PB?(2,0,?2),AC?(2,4,0)，设PB与AC所成的角为?，cos??????4
22?25?， 10
?异面直线PB与AC所成角的余弦值为
（2）VA?EFD?VF?AED。 101114??S?AED?h???4?2?1?。 3323
……………………………. 14分
2221、解：（1）a1?S1?a1,?a1?0,?a1?1，a2?S3?a1?a2?a3，?(1?d)2?3?3d,?d??1,2，
当d??1时，a2?0不满足条件，舍去.因此d?2，
1112n??,?Tn?1?。 2n?12n?12n?12n?1
2n(2n?1)(n?8)18?n?8,????(2n??17)， （2）当n为偶数时，??2n?12n2n
8182525?2n??8，当n?2时等号成立，?(2n??17)最小值为，因此??。 n2n22
(2n?1)(n?8)18?(2n??15)， 当n为奇数时，??2n2n
8182121?2n?在n?1时单调递增，?n?1时(2n??15)的最小值为?，????。 n2n22
21综上，???。 2
111222、解：（1）若存在x0满足条件，则??即x0?kx0?k2?0， x0?kx0k
1???k2?4k2??3k2?0，?方程无实数根，与假设矛盾。?f(x)?不能为“k性质函数”。 x
aaaaa2
（2）由条件得：lg（a?0)，化简得 ?lg2?lg，即2?2225(x0?2)?1x0?1(x0?2)?15(x0?1)an?2n?1,?bn?
2(a?5)x0?4ax0?5a?5?0，当a?5时，x0??1；当a?5时，由??0，
16a2?20(a?5)(a?1)?0即a2?30a?25?0，?15?2?a?15?2。 综上，a?[15?2,15?2]。
（3）由条件存在m使2??m，即2m?m?0。
2?f(x0?1)?2x0?1?(x0?1)2,f(x0)?f(1)?2x0?x0?3, m
22?f(x0?1)?f(x0)?f(1)?2?2x0?x0?2x0?1?2x0?x0?3