篇一：2009年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年上海市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）
1．（4分）（2009?上海）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=．
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题．
【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算
【解答】解：设z=a+bi，
则∵（a+bi）（1+i）=1﹣i，
即a﹣b+（a+b）i=1﹣i， 由，
解得a=0，b=﹣1，
所以z=﹣i，
=i，
故答案为i．
【点评】求复数的共轭复数一般步骤是：先利用待定系数法设出未知的向量，根据已知条件构造复数方程，根据复数相等的充要条件，转化为一个实数方程组，进而求出求知的复数，再根据共轭复数的定义，求出其共轭复数．
2．（4分）（2009?上海）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是 a≤1 ．
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【专题】集合．
【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．
【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，
且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．
故答案为：a≤1．
【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．
3．（4分）（2009?上海）若行列式
是 x＞且x≠4 ．
【考点】三阶矩阵．
【专题】计算题． 中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件
【分析】根据3阶行列式D的元素aij的余子式Mij附以符号（﹣1）
代数余子式，所以4的余子式加上（﹣1）1+1i+j后，叫做元素aij的即为元素4的代数余子式，让其大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．
【解答】解：依题意得，（﹣1）2＞0，
即9x﹣24＞0，解得x＞，且x≠4，
故答案为：x＞且x≠4
【点评】此题考查学生掌握三阶矩阵的代数余子式的定义，是一道基础题．
4．（4分）（2009?上海）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是
．
【考点】程序框图．
【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值．即求分段函数的函数值．
【解答】解：根据流程图所示的顺序，
程序的作用是分段函数的函数值．
其中输出量y与输入量x满足的关系式是
故答案为：
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
5．（4分）（2009?上海）如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是 arctan （结果用反三角函数值表示）．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题．
【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．
【解答】解：先画出图形
将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，
BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，
∴∠D1BC=arctan，
故答案为arctan．
【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．
6．（4分）（2009?上海）函数y=2cosx+sin2x的最小值是
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】
先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式2 ．
化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．
【解答】解：y=2cosx+sin2x
=1+cos2x+sin2x =1+ 2
=1+
当=2k ，有最小值1﹣
故答案为1﹣
【点评】
本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式
化简三角函数．
7．（4分）（2009?上海）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ
（结果用最简分数表示）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【专题】计算题．
【分析】用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，结合变量对应的事件写出分布列当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，求出期望．
【解答】解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，
当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，
∴P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=，
P（ξ=2）=，
∴Eξ=0×故答案为： =． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这是近几年经常出现的一个问题，可以作为解答题出现，考查的内容通常是以分布列和期望为载体，有时要考查其他的知识点．
8．（4分）（2009?上海）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题． ．
【分析】表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用R1+2R2=3R3，推出结果．
【解答】解：因为S1=4πR1，所以
2，
同理：，
即R1=，R2=，R3=，
由R1+2R2=3R3，得故答案为：
【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．
9．（4分）（2009?上海）已知F1、F2是椭圆C：
圆C上一点，且（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭．若△PF1F2的面积为9，则b= 3 ．
【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，
到b的值．
【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：
且．
=4c，
222=4c，2，由此能得（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，∴|PF1(转自：wWw.DXf5.Com 东星 资源网:2009上海高考数学难)|+|PF2|=2a，2， ∴（|PF1|+|PF2|）=4c+2|PF1||PF2|=4a，
222∴36=4（a﹣c）=4b，
∴b=3．
故答案为3．
【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．
10．（4分）（2009?上海）在极坐标系中，由三条直线θ=0，
形的面积等于
． ，ρcosθ+ρsinθ=1围成图
【考点】简单曲线的极坐标方程；定积分．
【专题】计算题．
【分析】三条直线化为直角坐标方程，求出三角形的边长，然后求出图形的面积．
【解答】解：三条直线θ=0，
x+y=1，
，ρcosθ+ρsinθ=1的直角坐标方程分别为：y=0，
y=x，
篇二：2009年高考理科数学上海卷【含详细讲解】
2009年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（理工农医类）
考生注意：
1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条
形码 .
2． 本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .
一．真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .
1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I是虚数单位)，则其共轭复数z=__________________ . 1．【答案】i
【解析】设z＝a＋bi，则（a＋bi ）(1+i) =1-i，即a－b＋（a＋b）i＝1－i，由?得a＝0，b＝－1，所以z＝－i，z＝i
2． 已知集合A??x|x?1?，B??x|x?a?，且A?B?R，则实数a的取值范围是
______________________ . 2．【答案】a≤1
【解析】因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。
?a?b?1
，解
?a?b??1
4 5 x
3． 若行列式 x 3中，元素4的代数余子式大于0，
7 8 9
则x满足的条件是________________________ . 3．【答案】x?
8
3
【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：x?
8 3
4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x
满足的关系式是
____________________________ .
?2x,x?1
4．【答案】y??
?x?2,x?1
【解析】当x＞1时，有y＝x－2，当x＜1时有y＝2，所以，有分段函数。 5．如图，若正四棱柱ABCD?A高 为1BC11D1的底面连长为2，4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）. 5．
【答案】
【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所在角，即∠A1D1B， 由勾股定理，得A1B＝25，tan∠A1D1B＝5，所以，∠A1D1B
＝ 6．函数y?2cos2x?sin2x的最小值是_____________________ . 6．
【答案】1
【解析】f(x)?cos2x?sin2x?1?
x
x?)?
1，所以最小值为：14
?
7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量?表示
选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E?____________（结果用最简分数表示）. 7．【答案】
4
7
11C5C21010
【解析】?可取0，1，2，因此P（?＝0）＝2?， P（?＝1）＝?， 2
21C721C72
C21010141
?1??2?P（?＝2）＝2?，E?＝0×＝ 2121217C721
C52
8.已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1?2R2?3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是___________.8、
? 【解析】S1?4?R1，S1?2
2
R1，同理：S2?2R2S3?2R3，即R1＝
S
12，
R2＝
S22，R3＝
S32，由R1?
2R2?3R3?
x2y2
9.已知F1、F2是椭圆C:2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且
ab
PF1F2的面积为9，则b=____________.1?PF2.若?PF
9．【答案】3
?|PF1|?|PF2|?2a?
【解析】依题意，有?|PF1|?|PF2|?18，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。
?222?|PF1|?|PF2|?4c
10.在极坐标系中，由三条直线??0，??________. 10、
?
3
，?cos???sin??1围成图形的面积是
【解析】化为普通方程，分别为：y＝0，y＝x，x＋y＝1，画出三条直线
的图象如右图，可求得A（
?13?3
，），B（1,0），三角形AOB的面22
积为：
13?3＝ ?
1?
422
时，不等式sin11.当0?x?1
11、【答案】k≤1【解析】作出y1?si?x
2
?kx成立，则实数k的取值范围是_______________.
?x
2
与y2?kx的图象，要使不等式
sin
?x
2
?kx成立，由图可知须k≤1。
12．已知函数f(x)?sinx?tanx.项数为27的等差数列?an?满足an???
????
?，且公差?22?
d?0.若f(a1)?f(a2)???f(a27)?0，则当k=____________是，f(ak)?0.
12．【答案】14
【解析】函数f(x)?sinx?tanx在
显然又为奇函数，
函数图象关于原
点对称，因为a1?a27?a2?a26?????2a14，
所以f(a1)?f(a27)?f(a2)?f(a26)?????f(a14)?0，所以当k?14时，f(ak)?0. 13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若
2)，(3，4)，(?2，3)，以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(?2，1)，(3，(4，5)，(6，6)为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，使6个零
售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 13．【答案】（3，3）
【解析】设发行站的位置为
?x,y?
，零售点到发行站的距离
为
这
6?y?6??
A（2
，画出图形可知，发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，在（3,3）处z取得最小值。 14.将函数y?
6?)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角4?6x?x2?2(x??0，
?(0????)，得到曲线C.若对于每一个旋转角?，曲线C都是一个函数的图像，则?的
最大值为__________.14．【答案】arctan【解析】由y?
2
3
（x－3）2＋（y＋2）2＝13，(x??0，6?)，它的图象是4?6x?x2?2得：
以（3，－2）为圆心，为半径的一段圆弧，
设过原点且与曲线C相切的直线为y＝kx，当θ＝0时，k＝－
1
＝kOC
33
，此时直线的倾斜角为β，即tanβ＝，当切线与y轴重合时，22
曲线上的点满足函数的定义，即是一个函数的图象，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的图象，旋转角为90°－β，则tan（90°－β）＝
23
，即θ＝arctan 23
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。
“?2?a?2”15.是“实系数一元二次方程x?ax?1?0有虚根”的
（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 15、【答案】A
2
“?2?a?2”【解析】△＝a－4＜0时，－2＜a＜2，因为是“－2＜a＜2”的必要不充分
条件，故选A。
2
1
，则P?EIF?的值等于 4
111
（A）0 （B）（C）（D）
1642
16.若事件E与F相互独立，且P?E??P?F??16、【答案】B
【解析】P?EIF?＝P?E??P?F??
111
?＝ 4416
17.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 （C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3 17、【答案】D
【解析】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.
18.过圆C：(x?1)?(y?1)?1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，
2
2
?AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S??S￥?S??S|||,
则直线AB有（）
（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条 18、【答案】B
【解析】由已知，得：SIV?SII?SIII?SI,，第II，IV部分的面
篇三：2009年上海市高考数学试卷(理科)
2009年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）
1．（2009?上海）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=
2．（2010?上海）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是
3．（2010?上海）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是．
4．（2010?上海）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．
5．（2010?上海）如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是 _________ （结果用反三角函数值表示）．
6．（2010?上海）函数y=2cosx+sin2x的最小值是．
7．（2009?上海）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ _________ （结果用最简分数表示）．
8．（2009?上海）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是 _________ ．
9．（2010?上海）已知F1、F2是椭圆C：
△PF1F2的面积为9，则b= _________ ．
10．（2009?上海）在极坐标系中，由三条直线θ=0，
2（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积等于．
11．（2009?上海）当
12．（2010?上海）已知函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列{an}满足an∈（﹣），且公差d≠0，若时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是 f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，则当k= _________ 时，f（ak）=0．
13．（2010?上海）某地街道呈现东﹣西、南﹣北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（﹣2，2），（3，1），（3，4），（﹣2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外） _________ 为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．
14．（2009?上海）将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为 _________ ．
二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）
215．（2009?上海）“﹣2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x+ax+1=0有虚根”的．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（2009?上海）若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=，则P（E∩F）的值等于（ ）
17．（2010?上海）有专业机构认为甲型N1H1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A．甲地：总体均值为6，中位数为8 B．乙地：总体均值为5，总体方差为12 C．丙地：中位数为5，众数为6 D．丁地：总体均值为3，总体方差大于0
18．（2009?上海）过圆C：（x﹣1）+（y﹣1）=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S|+SIV=S||+S|||则直线AB有（ ）
22A．0 B． C． D．
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
三、解答题（共5小题，满分78分）
19．（2009?上海）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．
20．（2010?上海）有时可用函数f（x）=
*，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．
21．（2009?上海）已知双曲线，设直线l过点，
（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2）证明：当k＞
22．（2009?上海）已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f（x+a）
﹣1互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积
性质”．
2（1）判断函数g（x）=x+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．
23．（2009?上海）已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．
*（1）若an=3n+1，是否存在m、k∈N，有am+am+1=ak？说明理由；
（2）找出所有数列{an}和{bn}，使对一切n∈N，*﹣1时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为． ，并说明理由；
（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项，请证明．
2009年上海市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）
1．（2009?上海）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=．
考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算。
专题：计算题。
分析：本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算
解答：解：设z=a+bi，
则∵（a+bi）（1+i）=1﹣i，
即a﹣b+（a+b）i=1﹣i， 由，
解得a=0，b=﹣1，
所以z=﹣i，
=i，
故答案为i．
点评：求复数的共轭复数一般步骤是：先利用待定系数法设出未知的向量，根据已知条件构造复数方程，根据复数相等的充要条件，转化为一个实数方程组，进而求出求知的复数，再根据共轭复数的定义，求出其共轭复数．
2．（2010?上海）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是
考点：并集及其运算。
专题：常规题型。
分析：利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．
解答：解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，
且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．
故答案为：a≤
1
点评：本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．
3．（2010?上海）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是
．
考点：三阶矩阵。
专题：计算题。
i+j分析：根据3阶行列式D的元素aij的余子式Mij附以符号（﹣1）后，叫做元素aij的代数余子式，所以4的余子式加上（﹣1）1+1即为元素4的代数余子式，让其大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．
解答：解：依题意得，（﹣1）即9x﹣24＞0，解得x＞
故答案为：x＞
点评：此题考查学生掌握三阶矩阵的代数余子式的定义，是一道基础题．
4．（2010?上海）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是
．
2＞0，
考点：程序框图。
分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值．即求分段函数的函数值．
解答：解：根据流程图所示的顺序，
程序的作用是分段函数的函数值．
其中输出量y与输入量x满足的关系式是
故答案为：
点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
5．（2010?上海）如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是 arctan （结果用反三角函数值表示）．
考点：异面直线及其所成的角。
专题：计算题。