篇一：09年高考数学卷(江苏)含详解
绝密★启用前
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
1n1n2
样本数据x1,x2,?,xn的方差s??(xi?),其中??xi
ni?1ni?1
2
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上. ．1.若复数z1
?4?29i,z2?6?9i，其中i是虚数单位，则复数(z1?z2)i.
【答案】?20 【解析】略
2.已知向量a和向量b的夹角为30，|a|?2,|b|?★. 【答案】3
【解析】a?b?23.函数
?
b?则向量a和向量b的数量积a??3。 2
f(x)?x3?15x2?33x?6的单调减区间为【答案】(?1,11) 【解析】f?(x)?3x
2
?30x?33?3(x?11)(x?1)，由
常数
，
(x?11)(x1)?0?
4.函数
得单调减区间为(?1,11)。
y?sAi?n?(x?)A?(为?
A?0,??0)在闭区间[??,0]上的图象如图所示，则??.
【答案】3
32
【解析】T??，T??，所以??3，
23
5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为★. 【答案】0.2 【解析】略
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
则以上两组数据的方差中较小
【答案】
5
【解析】略
?
.
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W【答案】22 【解析】略
8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8 【解析】略
9.在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?
x3?10x?3上，
且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ★. 【答案】(?2,15)【解析】略
10.已知a
?
?1x
，函数f(x)?a，若实数m,n满足f(m)?f(n)，则m,n的大小2
关系为 ★. 【答案】m?n 【解析】略 11.已知集合
A??x|log2x?2?，B?(??,a)，若A?B则实数a的取值范围是
(c,??)，其中c?【答案】4
【解析】由log2x?2得0?
x?4，A?(0,4]；由A?B知a?4，所以c?4。
12.设?和?为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若?内的两条相交直线分别平行于?内的两条直线，则?平行于?； （2）若?外一条直线l与?内的一条直线平行，则l和?平行；
（3）设?和?相交于直线l，若?内有一条直线垂直于l，则?和?垂直； （4）直线l与?垂直的充分必要条件是l与?内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号★ （写出所有真命题的序号）. ．．．【答案】（1）（2）【解析】略
x2y213．如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆2?2?1(a?b?0)的四
ab
M恰个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点
为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 ★ .
【答案】e??5
【解析】用a,b,c表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率. 14．设
?an?是公比为
q
的等比数列，
，|q?|1
令
bn?an?1(n?1,?2,若数列?bn?
有连续四项在集合
??53,?23,19,37,82?中，则6q?.
【答案】?9
【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分）
设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?) （1）若a与b?2c垂直，求tan(?（2）求|b?c|的最大值; （3）若tan?tan?
??)的值；
?16，求证：a∥b.
【解析】由a与b?2c垂直，a?(b?2c)?a?b?2a?c?0， 即4sin(?
??)?8cos(???)?0，tan(???)?2；
b?c?(sin??cos?,4cos??4sin?)
|b?c|2?sin2??2sin?cos??cos2??16cos2??32cos?sin??16sin2?
?17?30sin?cos??17?15sin2?，最大值为32，所以|b?c
|的最大值为由
tan?tan??16
得， 4?
sin?sin??16cos?cos???
，即
4?c?
o
?s?
所以a∥b.
16．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱ABC?
D在B1C1上，A1BC11中，E,F分别是A1B,AC1的中点，点
A1D?BC1
求证：（1）EF∥平面ABC
（
2
）
平面
AFD?平面BBC111C
A
F
B1
C1
E
A
【解析】证明：（1）因为E,F分别是A1B,AC1的中点，所以EF
B
C
//BC，又EF?面ABC，BC?面ABC，所以EF∥平面ABC；
，BB1?AABC?1A1BC1，所以BB1D，又1?面A1B1C1
（2）因为直三棱柱
A1D?BC1
，所以
AD?面BBC111C
，又
AD?面AFD11
，所以
平面AFD?平面BBC111C。
17．（本小题满分14分）设
?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22?a32?a42?a52,S7?7 （1）求数列?an?的通项公式及前n项和Sn；
（2）试求所有的正整数m，使得（1）设公差为d，则a2
2
aa为数列?an?中的项.
am?2
222
，由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3)，因为?a5?a4?a3
d?0
，所【解析】以
a4?a3?0
，即
，又由S7?72a1?5d?0
得
7a1?
7?6
d?7，解得a1??5， 2
d?2所以?an?的通项公式为an?2n?7，前n项和Sn?n2?6n。
（
2
）
aa(2m?7)(2m?5)
?am?2(2m?3)
，令
2m?3?t
，
amam?1(t?4)(t?2)8
??t??6，
am?2tt
因为t是奇数，所以t可取的值为?1，当t
8
?1，m?2时，t??6?3，2?5?7?3，
t
是数列
8
t??1m?1中的项；，时，t??6??15，数列?an?中的最小项是?5，a?n?
t
不符合。
所以满足条件的正整数m?2。 18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x?3)
2
?(y?1)2?4和圆
C2:(x?4)2?(y?5)2?4
（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C
1截得的弦长为线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截
求直
篇二：2009年高考试题—数学理(江苏卷)解析版
绝密★启用前
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ试题
参考公式：
1n1n2
样本数据x1,x2,,xn的方差s??(xi?),其中??xi
ni?1ni?1
2
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. ．．．．．．．．．1.若复数z1?4?29i,z2?6?9i,其中i是虚数单位，则复数(z1?z2)i的实部为▲. [解析]考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念. -20.
2.已知向量a和向量b的夹角为30，|a|?2,|b|a和向量b的数量积a?b=[解析] 考查数量积的运算.a?b?2o
?3. 2
3.函数f(x)?x3?15x2?33x?6的单调减区间为[解析]考查利用导数判断函数的单调性.
f?(x)?3x2?30x?33?3(x?11)(x?1)，
由(x?11)(x?1)?0得单调减区间为(?1,11).亦可填写闭区间或半开半闭区间. 4.函数y?Asin(?x??)（A,?,?为常数,A?0,??0） 在闭区间[??,0]上的图象如图所示，则?=▲. [解析] 考查三角函数的周期知识.
32
T??，T??，所以??3. 23
5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为▲.
[解析] 考查等可能事件的概率知识.从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2. 6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
2
则以上两组数据的方差中较小的一个为s. [解析] 考查统计中的平均值与方差的运算. 甲班的方差较小，数据的平均值为7，
(6?7)2?02?02?(8?7)2?022
?. 故方差s?
55
2
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W[解析] 考查读懂算法的流程图的能力.22.
?.
8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的 面积比为1
：4.类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的 比为1：2，则它们的体积比为 ▲ . [解析] 考查类比的方法.体积比为1：8.
9.在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C:y?x?10x?3
3
上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2， 则点P的坐标为
▲.
[解析] 考查导数的几何意义和计算能力.
y??3x2?10?2?x??2，又点P在第二象限内，
?x??2,点P的坐标为（-2，15）.
10.已知a?
1x
，函数f(x)?a，若实数m、n满足f(m)?f(n)，则m、n的大小关2
系为▲.
[解析] 考查指数函数的单调性.
a?
(0,1)，函数f(x)?ax在R上递减.由f(m)?f(n)得：m<n. 11.已知集合A?xlog2x?2,B?(??,a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c,??)，
??
其中c=▲.
[解析] 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式. 由log2x?2得0?
x?4，A?(0,4]；由A?B知a?4，所以c?4.
12.设?和?为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若?内的两条相交直线分别平行于?内的两条直线，则?平行于?； （2）若?外一条直线l与?内的一条直线平行，则l和?平行；
（3）设?和?相交于直线l，若?内有一条直线垂直于l，则?和?垂直； （4）直线l与?垂直的充分必要条件是l与?内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号是▲（写出所有真命题的序号） ．．．
[解析] 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理.真命题的序号是(1)(2). ．．．
x2y213.如图，在平面直角坐标系xOy中，A1,A2,B1,B2为椭圆2?2?1(a?b?0)的四个顶点，
abF为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的
中点，则该椭圆的离心率为▲.
[解析] 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等.以及直线的方程. 直线A1B2的方程为：直线B1F的方程为：
xy
??1； ?ab
xy??1.二者联立解得： c?b
T(
2acb(a?c)
,)， a?ca?c
x2y2acb(a?c)
,)在椭圆2?2?1(a?b?0)上， 则M(
aba?c2(a?c)
c2(a?c)2222
??1,c?10ac?3a?0,e?10e?3?0，
22
(a?c)4(a?c)
解得：e?5.
14．设?an?是公比为q的等比数列，|q|?1，令bn?an?1(n?1,2,四项在集合??53,?23,19,37,82?中，则6q= ▲ . [解析] 考查等价转化能力和分析问题的能力.等比数列的通项.
)，若数列?bn?有连续
?an?有连续四项在集合??54,?24,18,36,81?，四项?24,36,?54,81成等比数列，公比为
3
q??，6q= -9.
2
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）
设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?). （1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值； （2）求|b?c|的最大值；
（3）若tan?tan??16，求证：a∥b.
[解析] 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力
.
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F分别
D在B1C1上，A1D?B1C. 是A1B、AC1的中点，点
求证：（1）EF∥平面ABC；
?平面BB1C1C. （2）平面A1FD
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，
考查空间想象能力、推理论证能力
.
17．（本小题满分14分）
设?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a2?a3?a4?a5,S7?7.
2
2
2
2
（1）求数列?an?的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m，使得
amam?1
为数列?an?中的项. am?2
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解能力. （1）设公差为d，则a2
2
222
，由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3)，因为?a5?a4?a3
d?0，所以a4?a3?0，即2a1?5d?0，又由S7?7得7a1?
7?6
d?7，解得2
a1??5，d?2,
(2)（方法一）
amam?1(2m?7)(2m?5)
=,
2m?3am?2
8amam?1(t?4)(t?2)
?t??6,所以t为8的约数
. =
ttam?2
设2m?3?t,则
（方法二）因为
amam?1(am?2?4)(am?2?2)8
为数列?an?中的项， ??am?2?6?
am?2am?2am?2
故
8 am+2
为整数,又由（1）知am?2为奇数,所以am?2?2m?3??1,即m?1,2.
经检验,符合题意的正整数只有m?2. 18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x?3)2?(y?1)2?4和圆C2:(x?4)2?(y?5)2?4. （1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C
1截得的弦长为l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P的坐标.
[解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力.
(1)由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为：y?k(x?4)，即kx?y?4k?
篇三：2009年高考试题——(江苏卷)数学试题(含附加题)(解析版)
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题
样本数据x1,x2,?,xn的方差s?
2
1
n
i
(x?n
i?1
?),其中?
2
1
n
i
x?n
i?1
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上.．．
1.若复数z1?4?29i,z2?6?9i,其中i是虚数单位，则复数(z1?z2)i的实部为[解析]考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。-20
????????
o
2.已知向量a和向量b的夹角为30，|a|?2,|b|?a和向量b的数量积a?b=??
[解析] 考查数量积的运算。 a?b?23
2
2
?3
3.函数f(x)?x?15x?33x?6的单调减区间为[解析] 考查利用导数判断函数的单调性。
f?(x)?3x?30x?33?3(x?11)(x?1)，
由(x?11)(x?1)?0得单调减区间为(?1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 4.函数y?Asin?(x??
（)A,?,?为常数，
2
）在闭区间[??,0]上的图象如图所示，A?0,??0
则?=▲.[解析] 考查三角函数的周期知识。
32
T??，T?
23
?，所以??3，
5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为▲.[解析] 考查等可能事件的概率知识。
从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2[解析] 考查统计中的平均值与方差的运算。 甲班的方差较小，数据的平均值为7， 故方差s?
2
(6?7)?0?0?(8?7)?0
5
22222
?
25
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W?[解析] 考查读懂算法的流程图的能力。 22
8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为
1：2，则它们的体积比为. [解析] 考查类比的方法。
体积比为1：8
9.在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ▲
.[解析] 考查导数的几何意义和计算能力。
2
y??3x?10?2?x??2，又点P在第二象限内，?x??2
3
点P的坐标为（-2，15） 10.已知a?
f(m)?
2
x
，函数f(x)?a，若实数m、n满足
m、n的大小关系为f(n，则)
[解析] 考查指数函数的单调性。
a?
2
x
(0,1)，函数f(x)?a在R上递减。由f(m)?f(n)得：m<n
11.已知集合A??xlog2x?2?,B?(??,a)，若A?B则实数a的取值范围是(c,??)，其中c=▲.[解析] 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。
由log2x?2得0?x?4，A?(0,4]；由A?B知a?4，所以c?4。 12.设?和?为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若?内的两条相交直线分别平行于?内的两条直线，则?平行于?；（2）若?外一条直线l与?内的一条直线平行，则l和?平行；（3）设?和?相交于直线l，若?内有一条直线垂直于l，则?和?垂直；（4）直线l与?垂直的充分必要条件是l与?内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号▲ （写出所有真命题的序号）.．．．[解析] 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。
真命题的序号是(1)(2) ．．．
13．如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆
xa
22
?
yb
22
?1(a?b?0)的四个
顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 ▲.[解析] 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。 直线A1B2的方程为：直线B1F的方程为：则M(
c
2
2
x?axc?
?y
yb
?1；
2aca?c
b(a?c)a?c
?b
?1。二者联立解得：T(,)，
ac
a?c2(a?c)?(a?c)
22
,
b(a?c)
)在椭圆
xa
22
?
yb
22
?1(a?b?0)上，
(a?c)4(a?c)
?1,c?10ac?3a?0,e?10e?3?0，
222
解得：e?5
14．设?an?是公比为q的等比数列，|q|?1，令bn?an?1(n?1,2,?)，若数列?bn?有连续四项在集合??53,?23,19,37,82?中，则6q= ▲ .[解析] 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。
?an?有连续四项在集合??54,?24,18,36,81?，四项?24,36,?54,81成等比数列，公比为
q??
32
，6q= -9
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本小题满分14分）???
设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?)
???
（1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值；??
（2）求|b?c|的最大值;??
（3）若tan?tan??16，求证：a∥b.[解析] 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。
16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，
A1D?B1C
。求证：（1）EF∥平面ABC； （2）平面A1FD?平面BB1C1C.
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关
系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。
17．（本小题满分14分）设?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22?a32?a42?a52,S7?7。（1）求数列?an?的通项公式及前n项和Sn；（2）试求所有的正整数m，使得
amam?1am?2
为数列?an?中的项。[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。
（1）设公差为d，则a2?a5?a4?a3，由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3)，因为d?0，所以a4?a3?0，即2a1?5d?0，又由S7?7得7a1?解得a1??5，d?
2,(2)
（方法一）则
amam?1am?2
amam?1am?2
2
2
2
2
7?62
d?7，
=
(2m?7)(2m?5)
2m?38t
,设2m?3?t，
=
(t?4)(t?2)
t
?t??6,所以t为8的约数
（方法二）因为
8 am+2
amam?1am?2
?
(am?2?4)(am?2?2)
am?2
?am?2?6?
8am?2
为数列?an?中的项，
故
为整数，又由（1）知：am?2为奇数，所以am?2?2m?3??1,即m?1,2
经检验，符合题意的正整数只有m?2。