（安陆市二中 湖北安陆 432600） 数列中求通项公式的方法很多，有观察分析法，公式法（a?n=S?n－S?n－1）、构造函数法、利用递推关系式等等。其中利用递推关系求通项公式的题目多种多样，灵活多变。利用递推关系式求通项公式一般有累加法、递归法、阶差法、累乘法、换元法、构造新数列法等等。利用递推公式求数列的通项公式是非常重要的内容。在这里探索一下利用递推关系构造新数列法求通项公式的类型。?
当我们不能直接求出数列的通项公式a?n时，可考虑能否间接的求出a?n。先设法求出含有a?n的式子的通项公式，即辅助数列的通项公式，再倒推出a?n，其中有换元思想。我们求辅助数列，即构造新数列，一般是看每一项的幂的形式或相邻几项的和、差、积、商能否构成等差数列或等比数列（这一点，根据的递推公式的特征来尝试），若能够得到等差或等比数列，则在由此倒推回去，即可求得a?n、a?n－1.?
一、 构造等差数列求通项?
例1 数列a?n中，a?1=3，a?n－2a?na?n+1－a?n+1=0，求a?n.?
解：由a?n－2a?na?n+1－a?n+1=0得1a?n+1―1a?n=2，∴1a?n是以13为首项，2为公差的等差数列，∴1a?n=13+2（n－1）=6n－53，∴a?n=36n－5.?
例2 数列a?n中，a?1=－1，a?n=－
a2?n-1+a2(n≥2, a?n为常数），求a?n.?
解：由a?n=－
a2?n-1+a2(n≥2)可得
a2?n-a2?n-1=a2（n≥2，a?n＜0），?
∴{a2?n}是以
a2?1=1为首项，以a2为公差的等差数列,∴
a2?n=1+（n－1）a2=a2n+1-a2,?
∵a?n＜0,∴a?n=-
a2n+1-a2.?
二、 构造等比数列求通项?
下面归纳一下构造等比数列的几种常见类型?
Ⅰ：
a??n+1=xa?n+y型?
这种类型中，x、y为常数，x≠0,x≠1，a?1已知。其构造等比数列的方法有几种。?
分析1：用待定系数法构造等比数列?
可令a??n+1+k=x(a?n+k),展开比较可得k=
yx-1则是以a?1+k为首项，x为公比的等比数列。故
a?n+k可表示出来，从而可推出a?n.?
分析2：运用构造发散，以任意项减去其前一项，构造出等比数列，再运用累加法计算?
a?n+1=xa?n+y，
a?n=xa?n-1+y，两式相减可得
a?n+1－a?n=x（a?n－a?n-1）?
∴{a?n+1-a?n}是以
a?2-a?1=xa?1+y+a?1为首项，以x为公比的的等比数列?
∴
a?n+1－a?n=（xa?1+y+a?1）xn-1分别令n=1、2、3…n代入上式可得?
a?2-a?1=（xa?1+y+a?1）x0
a?3-a?2=（xa?1+y+a?1）x1?
a?4-a?3=（xa?1+y+a?1）x2
……?
a?n-a?n-1=（xa?1+y+a?1）xn-1上面n―1个式子相加可得a?n。?
比较以上两种方法，很显然分析1较简便一点，故一般用待定系数法构造新数列。?
例3 数列{a?n}中，已知a?1=9，且3a?n+1+a?n=4，求a?n.?
解：由条件得
a?n+1=
-13a?n+
43令
a?n+1+k=-
13(a?n+k)展开比较，可得k=-1，?
∴a?n+1－1=-
13（a?n－1），∴{a?n-1}是以a?1－1=8为首项，以-13为公比的等比数列?
∴a?n－1=8
-13n-1∴a?n=1+8
-13n-1?
Ⅱ：a?n+1=xa?n+f（n）型?
这里，这种类型有些可构成等差数列（如例3），有些可构成等比数列。若要构成等比数列，尽量把其化为a?n+1+kf（n+1）=x（a?n+kf（n））这种形式，则
{a?n+kf（n）}是以a?1+kf（1）为首项以x为公比的等比数列。故可a?n+kf（n）求出，从而可推出a?n.?
三、 构造常数列?
非零常数列即使等差数列，也是等比数列，是很特殊的数列。有不少递推数列可以构造常数列很轻易地求出通项公式。前面构造等比数列求通项公式的例题我们都可以很轻易构造常数列。因为，如果
{b?n}为等比数列，则b?n=qb?n-1两边同时除以qn则得
比如，上面的例4：推到这一步
a?n+1－1=-13（a?n－1），两边同时乘以（-3）n+1得?
（a?n+1－1）（-3）n+1=（a?n－1）（-3）n，∴
{（a?n-1）（-3）n}是常数列，?
∴（a?n－1）（-3）n=（a?1－1）（-3）=-24，∴a?n=1-
24（-3）n=1+8
-13n-1?
例4 数列{a?n}中，a?1=1，a?n=a?n-1+
1n叠加相消可求得a?n.?
方法二：（构造新数列）有条件得a?n=a?n-1+
1n是常数列，∴a?n+
1n=a?1+11=2∴a?n=2-1n?
总之，利用递推公式构造辅助数列求通项公式非产重要，或根据其特征适当变形或用待定系数法构造出新数列。这里还有许多值得我们去研究，它把数学的类比，转化，整体等思想和方法贯串在一起，充分体现了数学的思想美，轮换美。同样我们再接其它类型的数学题目是，也要领悟良好的数学思想和方法，探索简易的解决途径，通过不断的积累，逐渐内化为自己的经验，形成良好的数学思想方法。