复习二次函数时,同学们还不能灵活地利用一元二次方程的相关知识解决二次函数的一些问题。然而历年中考一元二次方程在二次函数的应用又是那么的普遍深入,因而一元二次方程在二次函数中的应用应是二次函数复习不可或缺的内容,一元二次方程在二次函数中的应用是初中阶段的学习重点。学习二次函数时,倘若能与一元二次方程有机地结合,解答二次函数问题有时能达到事半功倍的效果,因为一元二次方程能让二次函数的相关应用显得简洁易懂,更易让学生从一元二次方程的理论上深入理解二次函数。从二次函数、一元二次方程形式可知,它们之间有着内在的联系。要能在二次函数中深入应用一元二次方程, 不仅要引导学生深入理解熟悉一元二次方程的相关知识;更要清楚一元二次方程与二次函数之间的关系,使它们形成一个有机的体系;还要引导学生通过练习及时归纳提升一元二次方程在二次函数应用中的价值。以下就三个方面谈谈一元二次方程与二次函数的关系及其应用。
1 二次函数与一元二次方程的建构的关系及其应用
1.1 二次函数与一元二次方程的建构的关系
通过构建一元二次方程解决抛物线y=ax?2+bx+c相关问题,是解决二次函数的问题的常用方法之一。如构建一元二次方程ax?2+bx+c=0解决抛物线y=ax?2+bx+c与 x 轴交点问题;构建一元二次方程解决抛物线y=ax?2+bx+c与其它函数的交点问题;构建一元二次方程解决其它与二次函数相关的的问题等等。
1.2 一元二次方程的建构在二次函数中的应用
通常解答二次函数的问题时,一元二次方程的构建及其求解是解决二次函数的问题不可缺少的工具。
例1 如图,抛物线y=x?2+bx-2交x轴的正半轴于A点,交x轴的负半轴于B点,交y轴的负半轴于C点,O为坐标原点,这条抛物线的对称轴为x=.(1) 求A、B两点坐标,(2) 求证△ACO∽△CBO
略解:(1)由x=,可求b=故由一元二次方程x?2+x-2=0易求B(-4,0),A(1,0)
(2)略。
2 二次函数与一元二次方程根的判别式的关系及其应用
2.1 二次函数与一元二次方程根的判别式的关系
由一元二次方程ax?2+bx+c=0(a≠0)根的判别式可知,① 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;② Δ=0时,方程有两个相等的实数根;③ 当Δ0 时,抛物线与 x 轴有两个交点;② 当Δ=0时,抛物线与x轴只有一个交点;③ 当Δ0
∴抛物线与x轴一定有两个交点
又由求根公式可求x?2-(m?2+4)x-2m?2-12=0的两根分别为x?1=m?2+6,x?2=-2
因而抛物线与x轴两个交点中的其中一交点为(-2、0)
例4 已知直线y=(m+1)x-2与抛物线y=-(m+1)x?2+(m-5)x+6有两交点
求m的取值范围
略解:由抛物线y=-(m+1)x?2+(m-5)x+6可知,m≠-1
由直线y=(m+1)x-2与抛物线y=-(m+1)x?2+(m-5)x+6有两交点,易列关于x的一元二次方程(m+1)x?2+6x-8=0中,?>0即36+32(m+1)>0,
∴m>-178
∴m>-178且m≠-1
2.2.2 利用根的判别式求二次函数的解析式
例3 已知:p、q为正整数,m≠n,关于x的一元二次方程-x?2+2(p+1)x-(p?2+4p-3)=0有两个不相等的实数根,抛物线y=(m?2+n?2-3)x?2-6px+2mn+q与y轴的交点到原点的距离为2,且m?2-2m-1=0,n?2-2n-1=0,求抛物线的解析式
解:∵-x?2+2(p+1)x-(p?2+4p-3)=0有两个不相等的实数根
∴△>0
∴p0且x?1x?2=ca>0,则y=ax?2+bx+c(a≠0)交点都在x轴正半轴;② x?1+x?2=-ba0且x?1x?2=ca>0,则y=ax?2+bx+c(a≠0)交点都在x轴负半轴;③ x?1x?2=ca0且x?1x?2=ca=0,则y=ax?2+bx+c(a≠0)交点在原点及x轴正半轴;⑤ x?1+x?2=-ba0,b0可知该函数与x轴有两个交点;(2)由根与系数关系x?1+x?2=-ba>0,x?1x?2=ca
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