英国大数学家、哲学家,过程哲学的创始人怀特海曾经说过,数学是真、善、美的辩证统一。一个正确的数学理论,反映客观事物的本质和规律,这就是真;数学理论不管离现实多远,最后总能找到它的实际用途,体现其为人类服务的价值取向,这是数学的善;数学是一门处处洋溢着美的科学。“数学很美,数学很有趣,数学很有竞争性,她是世界上最聪明的人玩的游戏。”获得2002年菲尔茨奖的符拉基米尔•费沃特斯基,对数学作出风趣的描述。也正如华罗庚所说的:“就数学本身来说,也是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的。”数学理论本身的奇特、微妙、简洁有力以及建立这些理论时人的创造性思维这就是数学的美。
一、 数学美的存在
苏霍姆林斯基曾说:“没有审美教育就没有任何教育”。在此,不想夸大美育的作用,但是,数学美的表现形式是多种多样的,从数学内容看,有概念之美、公式之美、体系之美等;从数学的方法及思维看,有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等;从狭义美意义上看,有对称之美、和谐之美、奇异美。
1.和谐美
古希腊的毕达哥拉斯学派主张:“万物最基本的元素是数,数的和谐就是美。”请看下列一组数:
122=144换一下次序:212=441
1022=104042012=40401
1132=127692112=96721
……______……
再看下面的幻方:
幻方中每一行,每一列以及每一对对角线数的几个数之和都相等。多么和谐,多么美妙啊!
2. 简单美
好多涌长的数据、公理在数学上可以简单化。如:数学中的科学计算法,一亿――100000000,可以写成108。歌德巴赫猜想:“一个充分大的偶数总是可以写成一个素数与另一个素数的和。”而仅用符号(2=1+1)表示。数学上的直线公理:经过两点可以做一条直线,并且只能做一条直线,可以简单写成:“经过两点有且只有一条直线。”证明三角形全等的方法可写成:SAS、AAS、SSS、HL (RT△).
又如:一个简单的圆面积公式,就将天地间所有圆与半径间的联系完整准确的表示出来;一个简单的图象就可以将世界人口一百多年间的变化信息展示出来。而欧拉给出的公式:V-E+F=2,堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少?没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F,都必须服从欧拉给出的公式,一个如此简单的公式,概括了无数种多面体的共同特性,能不令人惊叹不
3. 对称美
从古至今,人们普遍认为对称的形式是美丽的,无论是日常生活用品中还是艺术作品和科学中,对称美都随处可见。在数学中,有的几何图形具有对称性,而这些对称性无不体现着数学的美感和奇妙.如:轴对称图形、中心对称图形,其中的等腰三角形、正方形、正三角形、圆球等在图案设计中都给人以对称美的享受。在数学中有许多数学规律具有对称性,如:加法的交换率:“两数相加,交换加数的位置和不变。可以写为“a+b=b+a”。再如: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.其中系数展开为:1、3、3、1。而 (a+b)n的系数列出来就是一个美丽的杨辉三角形,具有完美的对称性。
再如,许多简便的解法,也是数学简洁美的体现。简单举例:计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)-1。若直接一个个数字算出来的话,计算会很繁琐。仔细观察算式就会发现若前一个加数乘上(2-1)就可以利用平方差公式进行简便计算。
4. 奇异美
奇异性是数学内涵美的又一基本内容。它是指所得的结果新颖奇特,出人意料。七巧板拼图是小学数学课常采用的内容。用七块板可以拼成一个最简单的正方形,也可以拼出千变万化的复杂图案:如人形、鸟兽、花草、房屋等。通过七巧板拼图练习,学生感到图案之多,出人意料;图形之美,妙趣横生。
有趣的数学知识,不仅能让学生感受到不同的美,而且利用数学的奇妙还能装扮人们的生活。比如:搞服装设计,如果拥有黄金分割的知识,就会感觉自己的设计很舒服。巴赫的音乐中充斥着数学的对称美,埃及的金字塔在建筑线条上凝聚了多少形象的数学……经通过对数学美表现的研究,我们可以肯定的回答,数学中含有美的因素,数学发展受美育思想的影响,在此,可以借助古代哲学家、数学家普洛克拉斯断言:“哪里有数,哪里就有美。”
二、 数学美的功能
审美教育的范围正日益广泛地渗透到人类社会的各个领域之中。人们不仅通过音乐,艺术,而且通过自然美、社会美、科学美,得到美的熏陶,美化精神的境界。美育,对使学生树立正确的审美观,提高学生的审美能力和审美创造能力,塑造学生完善的人格,促进学生的全面发展,有着非常重要和积极的作用。
数学美的功能,主要体现在下面几个方面:
(1)数学美能够培养人们创造、发明数学的激情。
(2)数学美能启发人们探求真理的思路。
(3)数学美感有检验真理的作用。直觉的产生是基于对研究对象整体的把握,而哲学观点有利于高屋建邻的把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。例如(a+b)2= a2+2ab-b2 ,即使没有学过完全平方公式,也可以运用对称的观点判断结论的真伪。狄拉克于1931年从数学对称的角度考虑,大胆的提出了反物质的假说,他认为真空中的反电子就是正电子。他还对麦克斯韦方程组提出质疑,他曾经说,如果一个物理方程在数学上看上去不美,那么这个方程的正确性是可疑的。
(4)寓美于教,能激发学生的学习兴趣。虽然人的活动的动源是需要,但是人的活动的产生、持续是兴趣,“兴趣是最好的老师”,是学习的重要动力,兴趣也是创新的重要动力。创新的过程需要兴趣来维持。现代心理学研究表明,人的创新能力的形成和发展,在一定程度上取决于他的心理动因,即以需要为核心,以兴趣、情感等为内容的心理动因。由于兴趣不是与生俱来而是后天学来的。所以在数学课堂教学中,利用数学中的美,教学中的美(语言美、意境美、方法美、和谐美等)培养学生的兴趣。在教学中宜充分利用线条美、色彩美等给学生最大的感知,使他们充分体会数学给生活带来的美。使他们产生创造美的欲望,驱使他们创新,维持长久的创新兴趣。
三、数学之美的培养
在科学美层次上,提高学生的科学素养。科学和艺术一样,都有自己的美学特征,起着陶冶情操,完善思维品质的作用。其中包括:科学发现中的美学感悟,探索科学规律获得的愉悦,科学思维方法的美妙等诸多方面。科学美的发掘,可以通过种种渠道进行,包括视觉上的美,情理之中意料之外的“惊讶美”,证明技巧运用中的“机智美”,解决生活实际问题时的“实用美”,撰写小论文时的感受到的“创造美”。在中学数学教学过程中,我们可以从中学数学教材内容的美,如概念之美、证明之美、体系之美、无限之美、平衡之美等方面加以探讨,带领学生进入数学美的乐园,陶冶精神情操,激发他们的学兴趣,提高学生的审美能力,培养创造性思维能力。教师要充分挖掘教材中蕴含的数学思想方法,突出数学思想方法教学,进行学生创新能力的培养。如猜想是一种非常重要的数学思想方法,科学上突破、技术上创新等发明创造往往是从猜想开始的。牛顿早就说过:“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”著名的数学教育学波利亚早在1953年就大声疾呼:“让我们教猜测吧!”“先猜后证──这是大多数的发现之道”。可我们在日常教学中,往往过分强调数学知识的严谨性和科学性,忽视实验猜想等合情推理能力的培养,让学生觉得数学枯燥、乏趣、难学。
(缪海云 江苏省滨海县现代教育中心 224500)