线段的和差最值问题是最近几年中考的一个热点，承担着区分学生能力差异、分层选拔人才的功能，而最值问题因其问法多样化、条件隐含化、解法多元化，学生往往不易发现问题的本质，难以找到有效的解题方法，故教师在教学时，应注重分析条件与结论的联系，渗透解题思想的类比，解题方法的迁移，从而启发学生的思维，让他们解题时总有"似曾相识"之感，快速准确地找到解法。 ?
模型一.已知直线上的一个动点P，和直线同侧的两个定点A和B，求PA+PB的最小值。?
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分析：这个模型在课本上的原创题是：在一条笔直的公路（用直线1表示）的同一旁有两个村庄（用A、B表示），现要在公路边建一个自来水厂，为了使自来水厂向两个村庄铺设的水管道总长最短，则水厂应建在什么位置处？?
要解决这个问题，找出点A关于直线l的对称点 ，连结 交直线 于点P，则点P就是到A、B两村庄的距离之和最短的点的位置。根据三角形两边之和大于第三边的结论很容易证明这其中的道理。这是轴对称问题中一个典型的题目。在此基础上衍变出许多与之相关的问题，我们只需要透过外表看到问题的本质，即找到这些问题的数学模型，就可顺利解决问题，现将有关的应用举例如下：?
（1）把此模型隐藏在正方形中：正方形ABCD的面积为28，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一动点P，求PD+PE的最小值。?
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解：在正方形ABCD中，点D关于直线AC的对称点是点B,连接BE,交AC与点P,则PD=PB,PD+PE=PB+PE=BE,?
∵正方形的面积为28，∴边长为2√7 ∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2√7 ∴PD+PE最小值是2√7 ?
（2）此模型在圆柱形中的应用：已知蚂蚁从圆柱形的桶外壁A点爬到桶内壁的B点去寻找食物，A点到桶口的最短距离AC为12cm,B点桶口的最短距离BD为8cm,弧CD的长为15cm，则蚂蚁爬行的最短距离是多少？?
分析：首先把立体图形转化为平面图形。把圆柱的侧面展开为一个长方形。?
解：如图是圆柱的侧面展开图：?
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作A点关于CD的对称点 ,连接 A?｀B,交CD与P点，则蚂蚁经过点P时，爬行的距离最短。构造如图所示的?
RT△ A?｀BE,BE=8+12=20, A?｀E=15,则 A?｀B=25?
所以蚂蚁爬行的最短距离是25cm.?
(3)此模型在梯形中应用：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=AD=1,∠B=60°,直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上的一点，那么PC+PD的最小值是多少？?
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解：∵直线MN为梯形ABCD的对称轴?
∴D点关于直线MN的对称点是A点?
连结AC，交MN与P?｀ ,则 P?｀A= P?｀D,?
∴PC+PD的最小值是P?｀A+ P?｀D=AC∵AB=CD=AD=1,∠B=60°?
∴梯形ABCD是等腰梯形，∠BAD=∠CDA=120°?
∴∠DAB=30°∴∠BAD=90°∴AC= √3 即PC+PD的最小值是√3?
(4)此模型在圆中的应用：如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A、B在⊙O上，∠AMN=30°，点B为AN弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为√2。?
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解：作点B关于MN的对称点B｀,连结AB｀交MN与P｀，连结 PB｀，则PA+PB的最小值为P｀A+P｀B=AB，连结OA、OB｀ 。?
∵∠AMN=30°, 点B为AN弧的中点，?
∴∠AON=60°,∠B｀ON=30°∴∠AO =90°?
∵OA=OB｀ =1∴AB｀=√2即PA+PB的最小值为√2?
（5）此模型在菱形ABCD中的应用：如图所示，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是BC的中点，P是对角线AC上一个动点，则△PBE周长的最小值是 1√3。?
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解：在菱形ABCD中,点B关于AC的对称点是点D，连结BD、DE,交AC与点O、点P｀,连结 P｀B,?
∵DC=BC,∠BAD=∠BCD=60°∴△CDB为等边三角形?
∵点E为BC边的中点∴DE⊥BC?
在RT△CDE中，DC=AB=2, ∠BCD=60°?
∴DE=√3 ∴△PBE周长的最小值是1+√3?
（6）此模型的引申应用：如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值。?
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解：作点P关于OB、OA的对称点P｀、B｀｀，连结P｀p｀｀分别交OB、OA与点R、Q. 则三角形PRQ的周长PR+PQ+RQ=P｀p｀｀，连结OP｀ 、Op｀｀，因为∠AOB=45°?
∴∠ O =90°，OP=O =O =10?
∴p｀｀P｀ =10√3 ，∴三角形PRQ的周长10√3?
模型二：已知平面内的一个动点P和两个定点A和B（1）求PA+PB的最小值；（2）求PA-PB的最大值?
分析：解决这类问题，主要是弄清楚P点的具体位置。?
点P在平面内，可以分为三 类：?
（1）点P在直线AB外，如图，?
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根据三角形的三边关系，PA+PB＞AB；PA-PB＜AB?
(2) 点P在直线AB上，但在线段AB外，如图?
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PA+PB＞AB；PA-PB≤AB?
（3）点P在线段AB上，如图?
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PA+PB=AB；PA-PB＜AB?
综上所述，点P在线段AB上时，PA+PB有最小值，最小值等于线段AB的长；点P在线段AB的延长线上时，PA-PB有最大值，最大值等于线段AB的长。?
例：已知抛物线 y=ax?2+bx(a≠0)的顶点在直线?y=12x-1?上，且过点A(4，0)．⑴求这个抛物线的解析式；?
（2）设点C(1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D，使｜AD-CD｜的值最大，请直接写出点D的坐标. ?
解：（1） y=12x?2 （2）D(2,-2)?
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总之，数学的教学应留给学生充足的思考空间，教师应引导学生展开想象的翅膀，多观察，多类比，多归纳，多总结。把一些共性的问题通过数学建模使之公式化，便于学生理解记忆，灵活应用。