1、数学问题解决中的目标题 在数学问题解决中,最重要的问题是明确学习者从例题中获得怎样的知识有利于迁移产生。学习者从例题中能够获得知识这是事实,但这个知识与要解决的数学问题有关。在数学问题中,和例题具有相同解法的问题叫做同型问题;在某些意思上和例题类似,但用同一种方法不能解决的问题称为类似问题。本研究所指的知识是适用于和例题不是同型的类似目标题的知识,而这种知识是学习者成功地解决数学问题不可缺少的。很多关于迁移的研究使用的是同型问题。
心理学家桑代克曾提出共同要素说:即一种学习之所以有助于另一种学习是因为两种学习具有相同的要素。根据此学说,在数学问题解决中,迁移产生的难易在于目标题和例题具有"共同要素"的多少,同型问题间具有共同要素多,迁移易于产生。可是,类似目标题只是在某种意思上和例题相似,并且含有例题中没有的要素,因此从例题到类似目标题的迁移就很难发生了。那么,从例题中获得怎样的知识能够促进不仅是同型问题间,而是类似问题间的迁移产生呢?这是一个非常重要的问题,为了明确这一问题使用类似问题作为迁移研究的题材是必要的。
2.能够促进向类似目标题迁移的知识
在数学问题解决中能够促进向类似目标题迁移的知识目前被认为有两种。一种是例题的解法本身,即学习者从例题的学习中获得例题的解法,但对例题的问题情境及其解法不进行抽象,在解决目标题时将例题的解法直接映射到目标题上。另一种知识不是例题的解法本身,而是对例题的问题情境及其解法进行抽象和概括,使学习者获得比例题解法更抽象的知识,即"如何建立解法"的策略性知识。将这种解决问题的策略性知识叫做"压缩解法"。
2.1以解法为媒介的迁移
以解法为媒介的迁移对例题的问题情境和解法不进行抽象,在解决目标题时将例题的解法直接映射到目标题上。因为,类似目标题中含有例题中没有的要素,只学习单一的例题,向类似目标题的迁移很难发生,所以,有人主张:为了解决类似目标题必须学习很多例题,在解决目标题时将这些例题的解法进行组合。将例题的解法进行组合,虽然能够促进向类似目标题的迁移,但是,存在着下面问题:
(1)记忆很多的例题和例题的解法对学习者是一个很大的负担。(2)目标题只限于用学过的例题解法的组合能解决问题。把学过的例题解法进行组合未必能够解决目标题。也就是说出目标题的难度提高了,学生马上就困难了。(3)问题解决缺少灵活性。学习者从例题中获得的知识,在学习者的认知结构中,不是和学习者即有的知识相分离而孤立存在的,而是相互联系,相互结合的。所以,在解决目标题时,有可能使用例题中没有的数学事实和知识。
2.2以"压缩解法"为媒介的迁移
以从例题中获得比解法更抽象的知识,即"如何建立解法"的策略性知识能否促进向类似目标题的迁移为目的进行了实验研究。实验使用的3个问题和解决问题的方程式(如附录)。这些问题虽然问题情境不同,可是,作为追击问题"两个人 (或物体)前进的距离差等于某一距离"这一建立方程式的策略性知识是相同的。我们将这种知识叫做"压缩解法"。下面以"水池问题"为例分析一下"压缩解法"及其获得过程。这是一道追击问题,解决问题的基本方法是列方程解应用题,其难点在于从问题中找出一个相等关系,建立方程式。
C追上A时,C比A多走了一周。即C和A前进的距离差等于水池的周长。
C追上B时,C比B多走了一周。即C和B前迸的距离差等于水池的周长。
所以,C和A前迸的距离差= C和B前进的距离差= 水池的周长。设:C的速度为X,C和A前进的距离差是5X-5*70,C和B前进的距离差是9X-9*150。
方程式:5x-5*70= 9X-9*150。
由上面的分析不难看出:"两个人前进的距离差等于水池的周长"是建立方程式的关键。学生通过例题的学习,获得"两个人(或物体)前进的距离差等于某一距离"这一建立方程式的策略性知识,在解决追击这类问题时,就可以根据具体问题建立方程式。所以,"压缩解法"是通过对例题的问题情境和解题方法的概括和抽象,而得到的比例题解法本身更抽象的策略性知识,根据这种知识可以解决类似目标题
一般地认为,被抽象化的知识适用的范围广,所以对于类似性低的目标题,以比解法更抽象的策略性知识为媒介谋求迁移产生的想法是自然的。
为什么获得“压缩解法”能够促进向类似目标题的迁移呢?其原因:
(1)"压缩解法"是一种问题解决策略,概括性高。心理学家贾德(G?H?Judd)曾提出迁移的概括性理论。该理论认为两种学习活动之间存在共同要素只是产生迁移的前提,产生迁移的关键则是学习者从两种学习活动中概括出它们的共同原理。
(2)获得"压缩解法"减轻了学习者的记忆量。在实验研究中,无论是"水池问题"还是"挂钟问题",学习者不用记忆例题的具体解法,只记住“两个人(或物体)前进的距离差等于某一距离"这一建立方程的策略性知识,在解决问题时根据具体问题列出方程式即可。
(3)运用"压缩解法"解决问题具有灵活性。"压缩解法"只是从例题情境和解题方法中抽象出的策略性知识,学习者运用"压缩解法"解决目标题时,不用套用例题解法,也不用考虑将哪些例题的解法进行组合,并且,学习者可以把从例题中获得的策略性知识和既有认知结构的知识和经验相互结合,多方面地探索问题的解决方法,问题解决具有灵活性,且富有弹性。
"压缩解法"的获得能够促进向类似目标题的迁移,但是,还有不明确的问题。其中,最重要的问题是如何获得“压缩解法”,从例题情境和其解法中概括出一般方法和原理、抽象出解决问题的策略性知识,属于高水平一类的概括和抽象,在没有教师的指导下,学生怎样从学过的例题中获得"压缩解法"呢? 另外,抽象和概括是通过对具体事物的比较分析,抽取出共同的关系和性质的思维过程。不通过多数例题的比较只学习一个例题就抽象出解决这类问题的策略性知识,对于学生来说是很难的。这是值得我们今后探讨的问题。