“平面向量”的引入给中学数学内容注入了新的内涵。不仅如此,“平面向量”所蕴涵的丰富的数学思想方法,如数形结合、构造模型、化归转换、平移变换等,有益于发展学生的思维能力,激发其创新活力。随着向量在科学研究中的工具性应用,与它在社会生产生活中所起的巨大作用,向量的重要性越来越凸显出来。用向量知识解题,方法新颖,运算简捷,是启发学生思维的有效途径之一。
一、 用向量知识求有关函数的最大(小)值
例1 求y=?sin???2?x+2?sin?x•?cos?x+3?cos???2?x的最大(小)值。
分析:原函数可变为y=2+?sin?2x+?cos?2x。令y?1=?sin?2x+?cos?2x,构造向量a={?sin?2x,?cos?2x},b={1,1},则|y??1?|=?|?sin?2x?+?cos?2x|=|a•b|≤|a|•|b|=2,所以y???max??=2+2,y???min??=2-2。
二、 用向量证明某类等式或不等式
证明等式一般都要经过繁杂的运算,但如果等式具有向量代数的某些特征时,应用向量知识较为简单。
例2 若a、b∈R,且a1-b?2+b1-a?2=1,求证:?a??2?+?b??2?=1。
证明:设b≠0,构造向量a={a,1-a?2},b={1-b?2,b},则a•b=|a|•|b|?cos?θ
a1-b?2+b1-a?2=?cos?θ???cos?θ=?1?a∥ba1-b?2=1-a?2b(b≠0)→a??2?+b??2?=1。
当b=0时,显然有a=1,∴ a??2?+b??2?=1。
证明不等式方法有多种,但某些含有乘方之和与乘积之和的等式,应用向量证明效果会更好。
三、 用向量知识解有关三角问题
例3 已知α、β∈(0,?π?2)且?cos?α+?cos?β-?cos?(α+β)=32,求α、β的值。
解:原条件式可化为:?sin?α?sin?β+(1-?cos? α)?cos?β=32-?cos?α,构造向量a={?sin?α,1-?cos?α},b={?sin?β,?cos?β},则由|a•b|≤?|a|•?|b|?|?sin?α?sin?β+(1-?cos?α)?cos?β|≤?sin??2α+(1-?cos?α)?2?|32-?cos?α|≤2-2?cos?α?(?cos?α-12)??2?≤0??cos?α=12,又∵α∈(0,?π?2)?α=?π?3。由α、β的对称性知β=?π?3。
四、 用向量知识解有关解析几何问题
利用向量知识处理解析几何问题的方法是:把与解题有关的线段看做平面向量,并用坐标表示之;利用与平面向量有关的定理、公式列出方程,解出结果。
例4 如图,过A(-1,0),斜率为k的直线l与抛物线C:y?2=4x交于P、Q两点,若曲线C的焦点F与P、Q、R三点按图中顺序构成平行四边形,求点R的轨迹方程。
分析:本题若不用向量法,一般采用联立方程,考虑判别式,结合韦达定理的方法,尽管思路清晰,但计算量大,且技巧性强,不易掌握,而利用向量法解答,简单明快,容易接受。
解:设P、Q、R三点坐标分别为(14y?2?1,y?1),(14y?2?2,y?2),(x,y),则有?AP?=(14y?2?1+1,y?1),?AQ?=(14y?2?2+1,y?2),?FP?=(14y?2?1-1,y?1),?QR?=(x-14y?2?2,y-y?2)。
由A,P,Q三点共线知:?AP?//?AQ?,∴ (14y?2?1+1)y?2=y?1(14y?2?2+1),∴ 14y?1y?2(y?1-y?2)=(y?1-y?2)
∵ y?1≠y?2,∴ y?1y?2=4。
由四边形PFQR为平行四边可知:?FP?=?QR?,∴ (14y?2?1-1,y?1)=(x-14y?2?2,y-y?2)
∴ x=14(y?2?1+y?2?2)-1=14?y?1+y?2??2-2y?1y?2-1=14?y?1+y?2??2-3
∵ y=y?1+y?2,
∴ y?2=4x+12.
又x=14(y?2?1+y?2?2)-1>14y?1y?2-1=1。
∴ 点R的轨迹方程是y?2=4x+12(x>1)
例5 已知椭圆x?224+y?216=1,直线x12+y8=1,P是l上一点,射线OP交椭圆于R,又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|?2,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线?
分析:本题我们注意到点Q在OP上,于是存在?OQ?、?OR?、?OP?共线,因此可借助两个非零向量共线的充要条件,巧设参数λ、μ转化已知条件|OQ|•|OP|=|OR|?2为μ=λ?2,使得消元过程异常简捷。向量与解题交汇的综合题已成为高考命题的热点
解析:设Q(x,y)(其中x、y不同时为0)由非零向量?OQ?、?OR?、?OP?共线,可设?OR?=λ?OQ?,?Op?=μ?OQ?,则?OR?=(λx,λy),??Op?=?(μx,μy),分别代入椭圆方程、直线方程得:
x?224+y?216=1λ?2(1)
x12+y8=1μ(2)
由|?OQ?|•|?OR?|=|?OR?|?2得: μ??OQ???2=λ?2??OQ???2,
即μ=λ?2(3)
由(1)、(2)、(3)消去λ,μ整理得:
?(x-1)??252+?(y-1)??253=1(其中x、y不同时为0)
所以点Q的轨迹是以(1,1)为中心,长、短半轴分别为102和153且长轴与x轴平行的椭圆。
(罗国文 湖南省衡东县第二中学 421451)