数学教学大纲指出“初中数学的基础知识,主要是概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”所以,掌握好数学思想和方法的,对于学生真正学好数学是至关重要的。但是,在实际教学的过程中,这一点并没有引起老师们足够的重视,在数学教学过程中教师往往只重视知识的传授,而忽视了数学思想方法的渗透。
初中数学中蕴含了很多数学思想方法,最基本的有化归的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、方程的思想以及函数的思想等,其中分类思想是一种基本逻辑方法,也是研究数学问题的重要思想方法,它始终贯穿于整个数学教学中。
其实“分类”来源于生活,也存在于生活,学生的身边也处处有“分类”。比如学科的分类,文具的分类,小组的分类,等等。然而,初中数学中的分类讨论问题却是学生不容易掌握好的一类问题,学生碰到此类问题时,有时根本不知道需要讨论,有时候是知道要讨论可是分类的方法不恰当导致思路混乱。下面我们来总结几种需要分类讨论的情况以及该如何正确地进行分类讨论。
一、 透彻理解概念才能掌握好概念的分类
在七年级有理数这一章节中,有理数就两种分类方法:第一种是有理数分成整数,分数;整数又分成正整数,负整数和0;分数分成正分数和负分数。第二种是有理数分成正数,0,负数;正数又分成正整数和正分数,负数分成负整数和负分数。有理数的归类题让学生进入初中后第一次接触到了分类的思想方法,这个时候教师就应该跟学生提及“分类”的思想,让学生对“分类”有一个初步的印象和了解。
而当学生遇到绝对值问题时,分类讨论的思想方法就进一步得到了应用和渗透。据绝对值的性质可知:?|a|=a(a≥0),|a|=-a(a≤0),因此有关绝对值的计算与化简过程更是离不开分类讨论。比如当a取任意实数时,对|a-3|的值的分类讨论:当a≥3时|a-3|=a-3,当a≤3时|a-3|=3-a。
如果说有理数的分类属于概念性的分类,那么绝对值中的分类问题可以说是学生第一次系统地学会应用“分类”思想解决问题。这正是渗透分类思想的好时机。所以在七年级“有理数”这一章的教学时,教师就应反复渗透、强化数学分类思想,使学生在进入初中后逐步形成数学学习中的分类的意识。
又如,在不等式中也有分类的思想。根据不等式的性质,解不等式的最后一步,不等号的方向有时不变有时需要改变,根据不等式的性质,这取决于未知数的系数的符号。比如解不等式axba;(2) 当a>0时,解集为x0?则解集为一切实数。
概念的分类是初中阶段最主要的也是最常见的一种分类问题,学生在解决此类问题时,通常会知道要分类,可是却无法分清楚或是分完整。其实理解这一类问题的分类讨论最主要的是对基本概念和性质的熟练掌握,特别是对于涉及到分类的基本概念和性质,教师必须讲解得清晰透彻,老师讲得透学生才能理解得透,理解透了在分类的时候就能够清楚完整了。
二、 清晰认识条件才能掌握条件的分类
当题设条件蕴含不同情况的时候,就需要讨论,一般这一类问题已知条件越少,需要讨论的可能性越大。
比如在等腰三角形的题目中经常会出现这样的问题:已知等腰三角形中有一个内角为70°,求这个等腰三角形的顶角。此题因为题设中没有说明70°的角是顶角还是底角,在解的时候就有两种情况:当这个70°的角是顶角的时候顶角就是70°;当这个70°的角是底角时,顶角是40°。这里也蕴含着分类的思想。
又如:如图,如果四边形?CDEF旋转后能与正方形ABCD?重合,那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有个。
本题的题设和结论也是不唯一确定的,显然,符合条件的旋转中心必在边?CD上,可以这样分类:(1) 绕点C旋转,有一解;(2) 绕点D旋转,有一解;(3) 绕CD上异于C、D的点旋转,只能是CD的?中点。这样就得出了本题的正确答案:有3个。
对于此类问题,最主要的是要看清题意,不能想得太简单。教师在教授过程中,应该注意培养学生仔细读题的能力,不能只看表面,要看到问题的实质。
三、 灵活作图才能掌握图形的分类
这种情况一般出现在几何问题中。比如,直角三角形的三边满足勾股定理,即:两直角边的平方和等于斜边的平方。当题中没有说清哪条是斜边的时候就有两种图形,就要分情况讨论了,比如,在?Rt?△ABC中,已知两边长为3、4,求第三边的长。此题就要分成两种情况:当3和4是直角边的时候,第三边就是5;当4是斜边的时候,第三边就是7。
我们知道,在做几何题的时候作图是很关键的一步,有时候由于所作图形不同,也会出现不同的情况,比如,已知在△ABC中,AB=4,AC=3,BC边上的高等于2.4,求△ABC的周长。我们可以作出以下两种图形,就能求出两种答案了。
对于此类问题,最主要的是图形。其实在几何问题中,图形起到了至关重要的作用,教师在教授过程中要让学生多思考,多操作,培养学生根据已知条件作出相应图形的能力,而在作图的时候要充分考虑到不同的情况,才能画出所有符合条件的图形,解决此类分类讨论问题。
由此可见,初中阶段中有不少公式、法则、定理、习题,都需要进行分类讨论,在教授这些内容时,应不断强化学生分类讨论的意识,让学生认识到这些问题只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的、正确的。而在渗透分类讨论思想的时候,教师也有几个需要注意的地方。
首先必须遵守下面这两条基本原则:1. 分类的对象要确定,标准要统一。如果对象混杂,标准不一,就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为:正数、负数、整数,就是犯分类标准不一的错误。2. 在确定对象和标准之后,必须有一个清晰的分类框架和层次,不越级讨论。
其次教师在渗透分类讨论的思想方法时,不能太过急躁,因为对于学生来说,学习数学思想和方法要比知识的掌握难得多,一般要经历三个阶段,一是初步形成阶段,在这个阶段,学生可能根本想不到要讨论,即使有所觉察,也是处于“一知半解”的状态。二是初步应用阶段,在这个阶段,学生对分类讨论的认识逐渐明朗,开始能够自己整理出讨论的框架,独立完成讨论的过程。第三是熟练应用阶段,学生能根据数学问题,通过分析、作图的方法考虑到问题的方方面面,并能从解决问题的过程中总结出一些方法和策略。
总之,数学思想方法的教学不可能一步到位,分类讨论也思想是一样,必定有一个循序渐进的过程。在教学中老师们要由浅入深、由易到难,一步步地渗透分类讨论的思想方法,最终使学生学到的不仅是数学知识,而是数学方法和数学思想。
(田薇薇 江苏省吴江市盛泽第二中学 215228)