本题是浙江金华十校2010年高考模拟试题文科数学第22题,即压轴题,题目设计简洁明快,入口易但深化难,本文意在探究如何充分利用题目条件,使繁杂的运算更加简化。 题目: P、Q是抛物线C:y=x2上的两动点,直线l1、l2分别是C在点P、点Q处的切线,l1∩l2=M,l1⊥l2,(1)求证:点M的纵坐标为定值,且直线PQ经过一定点;
(2)求△PQM面积的最小值。
解:(1)设P(x1,x21),Q(x2,x22),由y′=2x易知
l1的斜率k1=2x1,l2的斜率k2=2x2
∴y-x21=2x1(x-x1)
y-x22=2x2(x-x2)
2x1•2x2=-1 即y=2x1x-x21 ①
y=2x2x-x22 ②
x1•x2=-14
由①②消去x得y=x1•x2=-14,即点M的纵坐标为定值。
又直线PQ的斜率KPQ=x21-x22x1-x2=x1+x2
∴直线PQ的方程为:y-x21=(x1+x2)(x-x1)
整理得:y=(x1+x2)x-x1x2
∴y=(x1+x2)x+14,(x1•x2=-14)
显然,该直线恒过定点(0,14).
因第(1)问对运算技巧性要求不高,在此不做深入探究。下面重点探究第(2)问:
学生看到第二问,根据题意,知道△PMQ是Rt△,要求出面积表达式,需求|PM|,|QM|,于是有:解法一:由(1)知M的横坐标为-14,再由-14-x21=2x1(x-x1),可求出
x=x21-142x1=12(x1+x2),(x1•x2=-14)
即M(x1+x22,-14)
|PM|=x1-x222+x21+142
|QM|=x1-x22+x22+142
写到这一步,再往下进行求12|PM|•|QM|的表达式可就不容易了。如:
S=12|PM|•|QM|
=1214(x1-x2)2+(x21+14)214(x1-x2)2+(x22+14)2
大多数学生得到这个式子之后,就不愿再做下去,认为再做下去也看不到希望,且越算越复杂。此时真是山重水复疑无路了!怎样才能柳暗花明又一村呢?
请注意:x1•x2=-14
∴(x21+14)2=(x21-x1x2)2=x21(x1-x2)2
∴|PM|=14(x1-x2)2+x21(x1-x2)2
=(x1-x2)2x21+14
=(x1-x2)2•x1(x1-x2)
=(x1-x2)3x1
同理|QM|=(x2-x1)3x2
∴S=12|PM|•|QM|=12(x1-x2)6(-x1•x2)=1214(x1-x2)6=14|x1-x2|3
而x2>0>x1,且x1=-14x2
∴S=14(x2-x1)3=14(x2+14x2)3≥14(2x2•14x2)2=14
当且仅当x2=12,x1=-12时“=”成立。
∴Smin=14,此时P(-12,14),Q(12,14) 直线PQ∥x轴。
方法二:令x1+x2=k则由(1)知点M坐标(k2,-14),直线PQ方程为y=kx+14,即kx-y+14=0
∴点M到直线PQ的距离h=|k22+14+14|1+k2=121+k2
|PQ|=(x1-x2)2+(x21-x22)2
=(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]
=[(x1+x2)-4x1x2][1+(x1+x2)2]
=(k2+1)(1+k2)
=1+k2
∴S△PQM=141+k2(1+k2)≥14
当k=0时“=”成立。
∴S△PQM最小值为14
方法三:过M作y轴平行线交PQ于N,易得Nx1+x22,x21+x222,显然点N为线段PQ中点,S△PQM=2S△MNQ,在△MNQ中,不妨以MN为底,
高h=x2-x1+x22=x2-x12
又|MN|=x21+x222+14=12(x2-x1)2
∴S△PQM=|MN|•h=14(x2-x1)3≥14[2x2•(-x1)]3=14
当且仅当x2=-x1=12 , 即x2=12,x1=-12时“=”成立。
∴Smin=14
方法三对图形的几何特征进行充分挖掘,使形与数结合得更加紧密,互为补充,大大降低了运算的难度,此法值得回味。
(乔超浙江省杭州市余杭区余杭镇成人文化技术学校311121)