篇一：高考数学总复习之【最值问题】专题
专题 最值问题
【考点聚焦】
考点1：向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点2：解斜三角形.
考点3：线段的定比分点、平移.
考点4：向量在平面解析几何、三角、复数中的运用. 考点5：向量在物理学中的运用. 【自我检测】
1、求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法，2、求几类重要函数的最值方法；
（1）二次函数：配方法和函数图像相结合； （2）f(x)?x?
a
(a?0,a?R):均值不等式法和单调性加以选择； x
（3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数.
3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值)
【重点?难点?热点】 问题1：函数的最值问题
函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等.
例1：(02年全国理1) 设a为实数，f(x)?x?x?a?1(x?R)， （1）讨论f(x)的奇偶性；（2）求f(x)的最小值．
思路分析：(1)考察f(x)与f(?x)是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．
22
(1)解法一：(利用定义)f(?x)?x＋x?a?1，?f(x)??x?x?a?1.
2
2
若f(x)为奇函数，则f(?x)??f(x),即2x＋x?a?x?a?2?0.此等式对x?R
都不成立，故f(x)不是奇函数；
若f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x)，即x2＋x?a?1?x?x?a?1,此等式对
2
x?R恒成立，只能是a?0．
故a?0时，f(x)为偶数；
a?0
时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
解法二：(从特殊考虑)f(0)?a?1, 又x?R，故f(x)不可能是奇函数． 若a?0，则f(x)?f(?x)?x?x?1，f(x)为偶函数； 若
2
a?0
，则f(a)?a?1,f(?a)?a?2a?1，知f(?a)?f(a)，故f(x)在
22
a?0
时，既不是奇函数又不是偶函数．
2
（2）当x?a时，f(x)?x?x?a?1?(x?)?a?性质知：若a?
12
2
3
，由二次函数图象及其4
1
，函数f(x)在(??,a]上单调递减，从而函数f(x)在(??,a]上的最小2
1132
值为f(a)?a?1；若a?，函数f(x)在(??,a]上的最小值为f()?，且
224
1
f()?f(a)． 2
1232
当x?a时，函数f(x)?x?x?a?1?(x?)?a?．
24
1131
若a??，函数f(x)在[a,??)上的最小值为f(?)??a，且f(?)?f(a)；
22421
若a??，函数f(x)在[a,??)上单调递增，从而函数函数f(x)在[a,??)上的最
2
小值为f(a)?a?1．
2
1311时，函数f(x)的最小值是?a；当??a?时，函数f(x)2422132
的最小值为a?1；当a?时，函数f(x)的最小值是a?．
24
综上所述，当a??
点评：1．研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及f(x)
与f(?x)是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．
2．二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像．当对称轴与所给定义域区间
的相对位置关系不确定，则需分类讨论．
3．本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些
同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论．
演变1：（05年上海）已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,AB?2i?2j(i 、j分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x2－x－6．
(1)求k、b的值;(2)当x满足f(x)> g(x)时,求函数
g(x)?1
的最小值． f(x)
g(x)?1x2?x?51
点拨与提示：由f(x)> g(x)得x的范围，＝＝x+2+－5，用
x?2f(x)x?2
不等式的知识求其最小值．
演变2：（05年北京卷）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a． （I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 点拨与提示：本题用导数的知识求解．
问题2：三角函数、数列、解析几何中的最值问题
将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解．
x2y2
??1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右例2：（05年上海）点A、B分别是椭圆
3620
焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA?PF．
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
思路分析：将d用点M的坐标表示出来，
549
d2?(x?2)2?y2?x?4x2?4?20?x2?(x?)2?15，然后求其最小值．
992
解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
????????
设点P(x,y),则AP={x+6, y},FP={x－4, y},由已知可得
?x2y2
?13??
?3620，则2x2+9x－18=0, 解得 x=或x=－6．
2?(x?6)(x?4)?y2?0
?
由于y>0,只能x=
533353
,于是y=．∴点P的坐标是(,)
2222
(2) 直线AP的方程是x－3y+6=0． 设点M(m,0),则M到直线AP的距离是
m?62
．
于是
m?62
=m?6,又－6≤m≤6,解得m=2．
椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有d?(x?2)?y
549
?x?4x2?4?2?x2??2), ?15
992
9
由于－6≤m≤6, ∴当x=时,d取得最小值
2
2
2
2
演变3：（05年辽宁）如图，在直径为１的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y?x?0．
(Ⅰ) 将十字形的面积表示为?的函数；
(Ⅱ) ?为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 点拨与提示：将十字型面积S用变量?表示出来，转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S的最大值．
问题3：最值的实际应用
在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．
例3：（06年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
思路分析：将帐蓬的体积用x表示（即建立目标函数），然后求其最大值．
解：设OO1为xm，则1?x?4
22
由题设可得正六棱锥底面边长为：3?(x?1)?
8?2x?x2，（单位：m）
故底面正六边形的面积为：6?帐篷的体积为：
332
（单位：m） ?(8?2x?x2)2=?(8?2x?x2)，
42
31
(8?2x?x2)[(x?1)?1]?(16?12x?x3)（单位：m3） 223
求导得V'（x）?(12?3x2)．
2
令V，x?2， （'x）?0，解得x??2（不合题意，舍去）当1?x?2时，V为增函数； （'x）?0，V（x）当2?x?4时，V为减函数． （'x）?0，V（x）∴当x?2时，V（x）最大．
3
答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为163m． V（x）?
点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力 演变4．（05年湖南）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1?
污物质量
）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两
物体质量（含污物）
种方案可供选择．方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1?a?3)．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是
y?acx?0.8
，其中(x?a?1)．用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是
y?ax?1
c(0.8?c?0.99)是该物体初次清洗后的清洁度．
（1）分别求出方案甲以及c?0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小．
（2）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响．
5c?4
点拨与提示：设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，x?，y?a(99?100c)
5(1?c)
5c?41
?100a(1?c)?a?1，利用均值不等式求最值．于是x?y?+a(99?100c)?
5(1?c)5(1?c)问题4：恒成立问题
不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m恒成立，即f(x)min＞m；
篇二：最值专题
最值专题
【1】最值问题的求法一：两点之间线段最短
问题情景：求a+b最小，
图形情景：同旁两点一条线（定点定线）
做法：先作对称后连线
①如图：C, D在直线l的同旁（先作点C关于l的对称点E，再连接DE即可，最短距离就是DE）
②同旁一点（或两点）两条线，两次对称后连线
注意：点是定点，线是定线，也是对称轴
【例题1
】已知菱形
ABCD
的两条对角线的长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=．
【例题2】在四边形ABCD中，∠BAD=120度，∠B=∠D=90度，AB=1，AD=2，在BC,CD上分别找一点M,N，使△AMN的周长最小，则这个最小值为
思路：因为两点之间线段最短，只要把线段AM、AN、MN拼成一条线段就可以了
①图②图
【跟踪练习3】如图，是一个无盖玻璃容器的三视图，其中俯视图是一个正六边形，A、B两点均在容器顶部，现有一只小甲虫在容器外A点正下方距离顶部5cm处，要爬到容器内B点正下方距离底部5cm处，则这只小甲虫最短爬行的距离是______cm．
【跟踪练习4】如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（ ）
（3）图 （4）图
【跟踪练习5】在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。
（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标； （Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。
【
2】、最值求法二：垂线段最短：
问题情景：求a最小，
图形情景：一个定点和一条定线
【例题1】已知等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=30度，AF⊥BC于F，点D在AC上，点E在AF上，若DE+EC的最小值为4，则△ABC的面积为
【例题2】如图:等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M是BC的中点.将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC(即MC′)同时与AD交于一点F时,点E、F和点A构成△AEF,试探究△AEF的周长是否存在最小值,如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.
【跟踪练习3】已知，AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，AB=4，AD=3，BC=6．
（1）求CD的长；、
（2）点C、D分别沿射线CB、DA方向同时以每秒1个单位长度的速度运动，运动多长时间线段CD恰好与⊙O相切？
（3）点P为⊙O上任一点，求△PCD面积的最大值和最小值
【跟踪练习
4】如图抛物线 y=-x2+3x+4 和直线y=-x+4相交于点A，C两点，点P为抛物线的一个动点，过点P作y轴的垂线交y轴于E，交直线于D，过D作DF⊥x轴，垂足为F，当EF最短时，则点P的坐标为
【3】最值求法三：三角形三边关系:
问题情景：求a最大或最小，求a-b最大或a+b最小，(转载自：www.dXf5.cOm 东星资源网:高考数学最值专题)
图形情景：在一个三角形中有一条或两条定边
【例题1】：已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，点E为BC上的一个动点，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在矩形内部的点P处，是否存在点P使PA+PC最小，如果存在，求出BE的长，如果不存在，说明理由
【例题2】已知在平面直角坐标系中，点A（1,3），B（3,1），在x轴上有一点P，若使PA-PB值最大，则点P的坐标是
【跟踪练习3】已知平行四边形ABCD中，E为AD的中点，F为AB上一点，∠A=60°把△AEF沿着直线EF对折，使点A落在平行四边形的内部P处，AD=2，AB=4则CP的最小值为
2图 3图
【跟踪练习4】已知∠AOB=45°,A,B是动点，AB=2，△ABC是等边三角形，则△ABC的内切圆半径是OC的取值范围是
1【跟踪练习5】如图，抛物线y=ax2-x+2与x轴交于A, B，与y轴交于C,已知3
B（3,0），设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN-CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．
【4】最值求法四：二次函数：
图形情景：有长度，或者求图形面积的最值、求利润的最值
【练习】
1、如图，Rt△ABC中，AB=BC=2，D为BC的中点，在AC边上存在 一点E，连接ED，EB，则EB+ED的最小值为（）
A.2 B.2?1 C.5 D.22
篇三：2015高考数学预测专题之数列中的最值问题
2015高考数学预测专题之数列中的最值问题
纵观近几年高考对于数列的的考查，重点放在数列中的最值问题上,主要考查等差数列前n项和的最值问题、数列的最值问题、数列前n项和的最值问题及与之相关的不等式证明和取值范围问题.要求学生有较强的转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.
1. 等差数列中的最值问题
求等差数列前n项和的最值问题的方法：
①二次函数法：将Sn看成关于n的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合思想，使问题得到解决，注意项数n是正整数这一条件.
②通项公式法：求使an≥0（an≤0）成立的最大n值，即可求出Sn的最大值(或最小值).
?Sn?Sn?1(n?2,n?N*)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n③不等式法：借助Sn取最大值时，有??Sn?Sn?1
的值和对应Sn的值（即为Sn的最值）.
例1已知等差数列?an?的前n项和为Sn，a4?a7?a10?9,S14?S3?77,则使Sn取得最小值时n的值为
( )
A．4 B.5 C.6 D.7
答案：B
试题分析：先由题中条件求出首项与公差，写出通项公式，求出为负值的项数，即可求出使Sn取得最小值时n的值.
??a1?3d???a1?6d???a1?9d??9?试题详解：设等差数列?an?的公差为d，由题意得：? 14?133?2???14a1?2d??3a1?2d??77???
解方程组得：??a1??911，所以an?2n?11，令an?0得：n? 2?d?2
即当n?5时，an?0，即当n?6时，an?0，所以使Sn取得最小值时n的值为5.故选B.
试题点评：等差数列前n项和的最值问题是高考考查的重点与热点，这类问题求法有：二次函数法、通项公式法、不等式法，要掌握之.
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