篇一：16年各地高考数学真题录
周末强化练习题
?????
1.（2016年高考新课标Ⅱ卷理）已知向量a?(1,m)，且(a+b)?b，则m?（ ） a=(3,?2)，
A.－8 B.－6 C.8 D.6
0?c?1,则( ) 2.（2016年高考新课标Ⅰ卷理）若a?b?1，
（A）ac?bc（B）abc?bac （C）alogbc?blogac（D）logac?logbc
?2x?y?0
?
3.（2016年高考北京卷理）若x，y满足?x?y?3，则2x?y的最大值为（ ）
?x?0?
A.0 B.3 C.4 D.5
4.(2016年高考新课标Ⅲ卷) 在封闭的直三棱柱ABC?A1B1C1内有一个体积为V的球，若
AB?BC，AB?6，BC?8，AA1?3，则V的最大值是（ ）
A.4π B.6πC.
9?32? D. 23
?π?3
5.（2016年高考新课标Ⅱ卷理）若cos?????，则sin2?=（ ）
?4?5
A.
7
25
1
B.
5
C.?
71 D.? 255
?6. 2016年高考新课标Ⅰ卷理）已知函数f(x)?sin(?x+?)(??0f(x)的零点，x?
?
2
),x??
?
4
为
?
4
为y?f(x)图像的对称轴，且f(x)在?
??5??
?单调，则?的最大?1836?
值为____________．
7.（2016年高考天津卷理）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-?，0）上单调递增.若实数a
满足f(2
a?1
)?f(，则a的取值范围是____________.
8.（2016年高考北京卷理）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1?6，a3?a5?0，则S6=____________.
9.（2016年高考新课标Ⅲ卷理）已知f?x?为偶函数，当x?0错误！未指定书签。时，，则曲线y?f?x?在点(1,?3)处的切线方程是f(x)?ln(?x)?3x错误！未指定书签。_____________．
osA?10.（2016年高考新课标Ⅱ卷理）?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ccosC?
5
，a?1，则b? 13
4，5
11. （2016年高考新课标Ⅰ卷理）?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
2cosC(acosB+bcosA)?c.
（I）求C；
（II
）若c??
ABC
12.（2016年高考山东卷理）
已知数列?an? 的前n项和Sn=3n2+8n，?bn?是等差数列，且an?bn?bn?1. （Ⅰ）求数列?bn?的通项公式；
,求?ABC的周长． (an?1)n?1
（Ⅱ）令cn?. 求数列?cn?的前n项和Tn.
(bn?2)n
13.(2016年高考四川卷理文)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC?CD?
P
1
AD. 2
BC
A
D
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由； （II）证明：平面PAB⊥平面PBD.
14. （2016年高考新课标Ⅱ卷文） 已知函数f(x)?(x?1)lnx?a(x?1).
（I）当a?4时，求曲线y?f(x)在?1,f(1)?处的切线方程；
（Ⅱ）若当x??1,???时，f(x)＞0，求a的取值范围.
参考解析
1~5.CCCCC6.7. (,) 8. 9. y??2x?1 10. 11.
132221 13
.
12.试题解析：（Ⅰ）由题意知当n?2时，an?Sn?Sn?1?6n?5， 当n?1时，a1?S1?11， 所以an?6n?5. 设数列?bn?的公差为d，
?a1?b1?b2?11?2b1?d由?，即?，可解得b1?4,d?3，
a?b?b23?2?17?2b1?3d
所以bn?3n?1.
(6n?6)n?1n?1
?3(n?1)?2（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn?， n
(3n?3)
又Tn?c1?c2?c3?????cn，
得Tn?3?[2?22?3?23?4?24?????(n?1)?2n?1]，
2Tn?3?[2?23?3?24?4?25?????(n?1)?2n?2]，
两式作差，得
?Tn?3?[2?22?23?24?????2n?1?(n?1)?2n?2]
4(2n?1)
?3?[4??(n?1)?2n?2]
2?1
??3n?2n?2
所以Tn?3n?2n?2
13.（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下： 因为AD‖BC,BC=
1
AD，所以BC‖AM, 且BC=AM. 2
所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB. 又AB? 平面PAB,CM ? 平面PAB, 所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点) （II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD, 因为AD∥BC,BC=
1
AD，所以直线AB与CD相交， 2
所以PA ⊥平面ABCD. 从而PA ⊥ BD. 因为AD∥BC,BC=
1
AD， 2
所以BC∥MD,且BC=MD. 所以四边形BCDM是平行四边形. 所以BM=CD=
1
AD，所以BD⊥AB. 2
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB. 又BD? 平面PBD, 所以平面PAB⊥平面PBD.
14.（Ⅰ）先求函数的定义域，再求f?(x)，f?(1)，f(1)，由直线方程得点斜式可求曲线
y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x?y?2?0.（Ⅱ）构造新函数
g(x)?lnx?
a(x?1)
，对实数a分类讨论，用导数法求解. x?1
试题解析：（I）f(x)的定义域为(0,??).当a?4时，
f(x)?(x?1)lnx?4(x?1),f?(x)?lnx?
1
?3，f?(1)??2,f(1)?0. x
所以曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x?y?2?
0.
篇二：16年高考真题——理科数学(四川卷)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工类）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．设集合A??x|?2?x?2?，Z为整数集，则A?Z中元素的个数是（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
2．设i为虚数单位，则?x?i?的展开式中含x的项为（ ） 64
（A）?15x（B）15x（C）?20ix（D）20ix
3．为了得到函数y?sin?2x?4444?
????的图象，只需把y?sin2x的图象上所有的点（） 3?
（A）向左平行移动?3个单位长度 （B）向右平行移动?3个单位长度
（C）向左平行移动?6个单位长度 （D）向右平行移动?6个单位长度
4．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
（A）24 （B）48 （C）60（D）72
5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入。若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.12?0.05，lg1.3?0.11，lg2?0.30） （A）2018年（B）2019年 （C）2020年（D）2021年
6．秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安
岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦
九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给
出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n,x的
值分别为3,2，则输出v的值为（ ）
（A）9（B）18（C）20（D）35
7．设p：实数x,y满足?x?1???y?1??2，q：实数22
?y?x?1?x,y满足?y?1?x，则p是q的（ ）
?y?1?
（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
8．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y?2px2
（p?0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|?2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（ ） （A）（B）2 （C）22 （D）1
9．设直线l1，l2分别是函数f?x?????lnx?0?x?1?图象上点P1，P2处的切线，l1与l2??lnxx?1?
垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则?PAB的面积的取值范围是（ ）
（A）?0,1?（B）?0,2?（C）?0,???（D）?1,???
????????????????????????????10．在平面内，定点A,B,C,D满足|DA|?|DB|?|DC|，DA?DB?DB?DC?
???????????????????????2????DC?DA??2，动点P,M满足|AP|?1，PM?MC，则BM的最大值是（ ）
（A）4 （B）4 （C）37?6（D）37?2 ??二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
?2??sin2? 11．cos88
12．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币
正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X
的均值是。
13．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，
该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 。
x 14．已知函数f?x?是定义在R上的周期为2的奇函数，当0?x?1时，f?x??4，则
f??2??f?1??。
15．在平面直角坐标系中，当P?x,y?不是原点时，定义P的“伴随点”为
?y?x?P??,?x2?y2x2?y2??；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有??
点的“伴随点”所构成的曲线C?定义为曲线C的“伴随曲线”。现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A?，则点A?的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C?关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线。其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）。
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费。为了了解居民用水情况，通
?0.5,1?，过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照?0,0.5?，…
，
?4,4.5?分成9组，制成了如图所示的频
率分布直方图。⑴求直方图中a的值；
⑵设该市有30万居民，估计全市居民中
月均用水量不低于3吨的人数，并说明
理由；⑶若该市政府希望使85%的居民
每月的用水量不超过标准x（吨），估计
x的值，并说明理由。
17．（本小题满分12分）在?ABC
中，角A,B,C所对边分别是a,b,c，且
cosAcosBsinCnB。??。⑴证明：sinAsinB?sinC；⑵若b2?c2?a2?6，求ta abc
18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P?ABCD中，
AD//BC，?ADC??PAB?900，BC?CD?2，
E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为900。
⑴在平面PAB内找一点M，使得直线CM//平面PBE，
并说明理由；⑵若二面角P?CD?A的大小为45，求直
线PA与平面PCE所成角的正弦值。
19．（本小题满分12分）已知数列?an?的首项为1，Sn为数列?an?的前n项和，0Sn?1?qSn?1，其中q?0，n?N?。⑴若2a2,a3,a2?2成等差数列，求?an?的通项公式；54n?3ny2
⑵设双曲线x?2?1的离心率为en，且e2?，证明：e1?e2???en?。 33n?1an2
x2y2
20．（本小题满分13分）已知椭圆E：2?2?1?a?b?0?的两个焦点与短轴的一个ab
端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y??x?3与椭圆E有且只有一个公共点T。⑴求椭圆E的方程及点T的坐标；⑵设O是坐标原点，直线l?平行于OT，与椭圆E交于不同两点A,B，且与直线l交于点P，证明：存在常数?，使得|PT|2??|PA|?|PB|，并求?的值。
21．（本小题满分14分）设函数f?x??ax?a?lnx，其中a?R。⑴讨论f?x?的单调2
性；⑵确定a的所有可能取值，使得f?x??x?e?11?x在区间?1,???内恒成立(e?2.71828?为自然对数的底数)。
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）解答
CADDB BACAB11．2；12．2；13．3；14．?2；15．②③
16．解：⑴由题可知，月均用水量在?0,0.5?的频率为0.08?0.5?0.04。同理，在
?0.5,1?,?1.5,2?,?2,2.5?,?3,3.5?,?3.5,4?,?4,4.5?的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02。由0.04?0.08?0.5?a?0.20?0.26?0.5?a?0.06?0.04?0.02?1得a?0.30；
⑵由⑴，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06?0.04?0.02?0.12。由此可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000?0.12?36000；
⑶因前6组的频率之和为0.04?0.08?0.15?0.20?0.26?0.15?0.88?0.85，而前5组的频率之和为0.04?0.08?0.15?0.20?0.26?0.73?0.85，故2.5?x?3。由0.3??x?2.5??0.85?0.73可得x?2.9。所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85％的居民每月的用水量不超过标准。
cosAcosBsinC??，即sinAcosB?cosAsinB? sinAsinBsinC
sinAsinB，故sin?A?B??sinAsinB，因此sinAsinB?sinC； 17．解：⑴由正弦定理和题意得：
44b2?c2?a23?，故sinA?。结合⑴得?sinB? ⑵由余弦定理和题意得：cosA?552bc5
4341?cosB??sinB，即?cosB??sinB，故tanB?4。 5555
18．解：⑴在梯形ABCD中，AB与CD不平行，
延长AB,DC交于M（M?平面PAB），点M即为
所求的一个点。理由如下：因BC//ED，且BC?ED，
故BCDE是平行四边形，从而CM//EB。又EB?平
面PBE，CM?平面PBE，所以CM//平面PBE；
⑵由题，CD?PA，CD?AD，PA?AD?A，
故CD?平面PAD，于是CD?PD，从而?PDA是
二面角P?CD?A的平面角，即?PDA?45。由0
PA?AB可知PA?平面ABCD。设BC?1，则在
????????Rt?PAD中，PA?AD?2。作Ay?AD，以A为原点，以AD,AP的方向分别为x,z轴
正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，则P?0,0,2?，C?2,1,0?，E?1,0,0?。故?????????????PE??1,0,?2?，EC??1,1,0?，AP??0,0,2?。设平面PCE的法向量为n??x,y,z?，由????????n?PE?0?x?2z?0得?，取x?2，得n??2设直线PA与平面PCE所成角为?，,?2,1?。????????n?EC?0?x?y?0
?????1|n?AP|1?则
sin?? ?，故直线PA与平面PCE所成角的正弦为。33|n||AP|19．解：⑴由题Sn?1?qSn?1，Sn?2?qSn?1?1，两式相减得an?2?qan?1n
?N?。又??
由S2?qS1?1得a2?qa1，故an?1?qann?N?。所以，数列?an?是首项为1，公比为q的等比数列，从而an?qn?1。因2a2,a3,a2?2成等差数列，故2a3?3a2?2，即2q2?3q?2，则?2q?1??q?2??0。因q?0，故q?2，所以an?2n?1；
⑵因an?qn?1，故en??an??q22n?12，因此3??q，得q?。因为??en??q2n?1?qn?1，所以?e??qk
k?1k?1nnk?1qn?14n?3n??n?1，从而得证。 q?13
?x2?2y2?2b2x2y2
22220．解：⑴由题a?2b，故E2?2?1，即x?2y?2b。由?2bb?y??x?3
得3x?12x?18?2b?0，故??144?1218?2b2?0，得b?3，且x?2。所以椭圆E22??2
x2y2
??1，点T的坐标为?2,1?； 的方程为63
1?y?x?m122?x?2?my?1?m，故⑵由题可设l?:y?x?m?m?0?，由?可得，2233?y??x?3?
1?y?x?m822???22可得P?2?m,1?m?，因此|PT|?m。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由?2933???x2?2y2?6?
3x2?4mx?4m2?12?0。由??16m2?124m2?12?0得?22?m?322，且
4m224m2?12?1?x1?x2??|2?m?x1|，，x1x2?。因|PA|????|2?m?x1|?33233?2?2??
|PB|?5222|2?m?x2|，故|PA|?|PB|?|2?m?x1|?|2?m?x2|? 43323
225?2??2?5?2?4m?2?4m2?12|?2?m???2?m??x1?x2??x1x2|?|?2?m????2?m??|? 4?3??3?4?3?3?3?3
10244m?|PT|2，故存在常数??，使得|PT|2??|PA|?|PB|。 595
12ax2?1?x?0?，当a?0时，f??x??0，故f?x?在21．解：⑴由题f??x??2ax??xx
?0,???单调递减；当a?0时，由f??x??0得x?2a，由f??x??0得0?x?2a，因此f?x?在0,?2a单调递减，在?11?x??2a,??单调递增； ?⑵令g?x??x?e，h?x??ex?1x?1h??x??0，h?x?则h??x??e?1。故当x?1时，?x，
在?1,???单调递增。因h?1??0，故h?x??0，从而g?x??0。当a?0且x?1时，显然
篇三：16年高考真题——理科数学(山东卷)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z满足2z?z?3?2i，其中i为虚数单位，则z?（ ） （A）1?2i
（B）1?2i
（C）?1?2i
（D）?1?2i
2．设集合A?y|y?2x,x?R，B?x|x2?1?0，则A?B?（ ） （A）??1,1?
（B）?0,1?
（C）??1,???
（D）?0,???
????
3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是
?17.5,30?，样本数据分组为?17.5,20?,
?20,22.5?,?22.5,25?,?25,27.5?,?27.5,30?。
根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） （A）56（B）60（C）120
（D）140
?x?y?2
?22
4．若变量x,y满足?2x?3y?9，则x?y
?x?0?
的最大值是（ ）
（A）4 （B）9（D）12 （C）10
5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三
视图如图所示，则该几何体的体积为（） （A）
1212?? （B）?? 3333
（C）
122??（D）1?? 366
6．已知直线a,b分别在两个不同的平面?,?内，则“直线a和直线b相交”是“平面
?和平面?相交”的（ ）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 7．函数f?x??
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sinx?cosxcosx?sinx?的最小正周期是（ ）
（A）?2 （B）? （C）3?2 （D）2?
?????????????
8．已知非零向量m,n满足4|m|?3|n|，cosm,n?。若n?tm?n，则实数
??
t的值为（ ） （A）4 （B）?4 （C）94（D）?4
9．已知函数f?x?的定义域为R，当x?0时，f?x??x3?1；当?1?x?1时，
f??x???f?x?；当x?
1
时，2
1??
f?x???
2??1??
f?x??。则f?6??（ ）
2??
（A）?2 （B）?1 （C）0 （D）2
10．若函数y?f?x?的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y?f?x?具有T性质。下列函数中具有T性质的是（ ）
（A）y?sinx （B）y?lnx （C）y?e （D）y?x
x
3
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分。
11．执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为_______。
1??3
12．若?ax2??的展开式中x的系数是?80，则
x??
实数a?_______。
5
x2y2
13．已知双曲线E：2?2?1?a?0,b?0?，若矩
ab
形ABCD的四个顶点在E上，AB,CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|?3|BC|，则E的离心率是_______。
14．在??1,1?上随机地取一个数k，则事件“直线y?kx与圆?x?5??y2?9相交”
2
发生的概率为_______。
?x?m??|x|
15．已知函数f?x???
?x?2mx?4m?x?m?
x的方程f?x??b有三个不同的根，则m的取值范围是____________。 三．解答题：本答题共6小题，共75分。
16．（本小题满分12分）在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知
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tanAtanB
?。⑴证明：a?b?2c；⑵求cosC的最小值。 cosBcosA
17．（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O?的直径，FB是圆2?tanA?tanB??
台的一条母线。⑴已知G,H分别为EC,FB的中点，求证：
GH//平面ABC；⑵已知EF?FB?
1
AC?2，2
AB?BC。求二面角F?BC?A的余弦。
18．（本小题满分12分）已知数列?an?的前n项和
Sn?3n2?8n，?bn?是等差数列，且an?bn?bn?1。⑴求数列?bn?的通项公式；⑵令
cn??an?1?
n?1
bn?2?
n
，求数列?cn?的前n项和Tn。
19．（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。已知甲每轮猜对的概率是乙每轮猜对的概率是
3，4
2
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假3
设“星队”参加两轮活动，求：⑴“星队”至少猜对3个成语的概率；⑵“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX。
20．（本小题满分13分）已知f?x??a?x?lnx??调性；⑵当a?1时，证明f?x??f??x??
2x?1
，a?R。⑴讨论f?x?的单2
x
3
对于任意的x??1,2?成立。 2
21．（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy中，
x2y2
椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率是2，
ab
抛物线E：x?2y的焦点F是C的一个顶点。⑴求椭圆C的方程；⑵设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B，
线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M。①求证：点M在定直线上；②直线l与y轴交于点G，记?PFG的面积为S1，?PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标。
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2
S1
S2
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）解答
BCDCC ABBDA 11．3；12．?2；13．2；14．4；15．?3,???
sinAsinB?sinAsinB?
，整理可得????
cosAcosBcosAcosBcosAcosB??
2sin?A?B??sinA?sinB，因此sinA?sinB?2sinC。由正弦定理即得a?b?2c；
16．解：⑴由题2?
4a2?4b2??2c?4a2?4b2??a?b?3?ba?11
⑵由⑴得cosC????????，当
8ab8ab8?ab?42
且仅当a?b时等号成立。故cosC的最小值为2。
22
EF17．解：⑴设FC的中点为I，连接GI,HI。在?C
中，因G是CE的中点，故GI//EF。又EF//OB，故
GI//OB。FB中，在?C因H是FB的中点，故HI//BC。又HI?GI?I，所以平面GHI//平面ABC。因GH?平面GHI，故GH//平面ABC；
⑵连OO?，则OO??平面ABC。因AB?BC，且AC是圆O的直径，故BO?AC。以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O?xyz。由题B0,2,0，
??
C?23,0,0，过F作FM?OB于M，所以
??
FM?FB2?BM2?3，因此F
0,,3，从而????
????
BC???，BF?0,。设
?
??
?
??
??????
?????m?BC?0??23x?2y?0
BCF是平面的一个法向量，则，即，取m??x,y,z?????????
???m?BF?0??y?3z?0
???
y
?3可得m??。因n??0,0,1?是平面ABC
的一个法向量，且
????
???7m?n，故二面角F?BC?A的余弦值为。 cos?m,n???
77|m||n|
18．解：⑴由题an?Sn?Sn?1?6n?5?n?2?，又a1?S1?11，故an?6n?5。设d是?bn?的公差，由?
?a1?b1?b2?11?2b1?d?b1?4
可得?，解得?，所以bn?1?3n；
?d?3?17?2b1?3d?a2?b2?b3
n?1
⑵由⑴知cn??6n?6?
?3n?3?
n
?3?n?1??2n?1，故
Tn?32?22?3?23????n?1?2n?1，2Tn?32?23?3?24????n?1?2n?2。相减得
?T
n?32?2?2?2??
?2
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????
?
234n?1
??n?1?2
n?2
?
?42n?1?
?3?4???n?1?2n?2???3n?2n?2，
2?1??
??
故Tn?3n?2n?2。
19．解：⑴记“甲第一轮猜对”为事件A，“乙第一轮猜对”为事件B，“甲第二轮猜对”为事件C，“乙第二轮猜对”为事件D，“星队至少猜对3个成语”为事件E。由题
E?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD，故P?E??P?ABCD??PABCD?
PABCD?PABCD?PABCD?P?A?P?B?P?C?P?D??PAP?B?P?C?P?D??
3232
P?A?PBP?C?P?D??P?A?P?B?PCP?D??P?A?P?B?P?C?PD?????
43432?12323132?2
2??????????，所以“星队”猜对3个成语的概率为；
3?43434343?3
11111
⑵由题，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6。且P?X?0??????，
4343144
5?31111211?10
，P?X?1??2????????????
4343434314472??
313131121231121225
P?X?2??????????????????，
4343434343434343144
?
???
??
????
?
?32313212?5
P?X?4??2???????????，
?43434343?12
321111321????????， 434343431232321
P?X?6??????。因此X的分布列
43434
152515123?1??2??3??4??6??如右表所示，数学期望EX?0?。 14472144121246
a22ax2?2?x?1?20．解：⑴f?x?的定义域为?0,???，f??x??a??2?3?， xxxx3
①当a?0时，若0?x?1，则f??x??0，f?x?单调递增；若x?1，则f??x??0，f?x?
a
单调递减；②当a?0时，f??x??3?x?1?x?2ax?2a。若0?a?2，则
x
a?1，故当0?x?1或x?a时，f??x??0，f?x?单调递增；当1?x?a时，P?X?3??
??
????
若a?2，则a?1，f??x??0，f?x?单调递增；若a?2，f??x??0，f?x?单调递减；
则0?a?1，故当x?1或0?x?a时，f??x??0，f?x?单调递增；当a?x?1时，f?x??0，f?x?单调递减。综上，当a?0时，f?x?在?0,1?单调递增，在?1,???单
??
a?2时，f?x?在?0,???单调递增；当a?2时，f?x?在?0,a?和?1,???单调递增，在a,1?单调递减；
调递减；当0?a?2时，f?x?在?0,1?和 ⑵a?1时，f?x??f??x??x?lnx?
a,??单调递增，在1,2a单调递减；当
?
312
?2?3?1?1?x?2?。令g?x??x?lnx，xxx
312x?1h?x???2?3?1，则f?x??f??x??g?x??h?x?。由g??x???0可得
xxxx
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