【题目】(2010年徐州市中考数学试卷第26题) (本题8分)如图①,梯形ABCD中,∠C=90?°?.动点E、F同时从点B出发,点E沿折线BA―AD―DC运动到点C时停止运动,点F沿BC运动到点C时停止运动,它们运动时的速度都是1 ?cm/s?.设E、F出发t ?s?时,△EBF的面积为y ?cm???2?.已知y与t的函数图象如图②所示,其中曲线OM为抛物线的一部分,MN、NP为线段.请根据图中的信息,解答下列问题:
(1) 梯形上底的长AD=?cm?,梯形ABCD的面积?cm???2?;
(2) 当点E在BA、DC上运动时,分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围);
(3) 当t为何值时,△EBF与梯形ABCD的面积之比为?1∶2?.
图①
?
图②
?
【评价与赏析】
一、 从试题的逻辑结构看
试题以学生熟悉的直角梯形为依托,以动态问题为情境,综合平行线性质,三角形面积、梯形面积的计算,图形面积之关系,并把一次函数、二次函数自然镶嵌其中,从运动的观点出发,认识变化着的面积与相应的函数图象之间的对应性,以及函数性质在所反映的实际问题中的变化规律。试题贯通了代数与几何、运动与静止、函数与图象的联系,形成了较好的内容逻辑结构。
二、 从试题“三度”看
试题的“三度”是指效度、信度和区分度。一道好题应当使考查结果有较好的效度,较高的信度和较强的区分度。试题考查结果设置了三个问题:第(1)问填空,求梯形上底AD的长和梯形ABCD的面积。要求学生从变化着的面积与相应的函数图象的对应性,确定梯形的上底、下底和高,进而求出梯形的面积。依据结果可以准确判断学生是否真正理解函数的图象与实际问题对应关系和变化规律,从而保证了试题的效度。
第(2)、(3)两问解答,确定y与t的函数关系式,并求出y是定值(梯形面积的一半)时对应t的取值。依据学生解答的结果不但可以准确判断学生是否掌握一次函数、二次函数解析式的求法,更重要的是可以判断学生对重要的数学思想方法(如:数形结合思想方法、分类讨论思想方法)和实际问题中自变量的取值范围与函数图象的对应关系的掌握应用情况,保证了本题的信度。
试题坚持由易到难的原则,设置的3个问题,层层递进,增强对数学成绩中等以上的考生的区分。为此,题目分七步给出如下评分标准:
解:(1) 2,14.
(2) ①当点E在BA上运动时,如图①,此时0≤t≤5.
分别过点E、A作EG⊥BC,AH⊥BC,垂足分别为G,H,则△BEG∽△BAH.
图①
?
∴ BEBA=EGAH,即t5=EG4,
∴EG=45t,
∴y=12•t•45t=25t?2.
②当点E在DC上运动时,如图②,此时7≤t≤11.
?
?
?
图②
?
∴CE=11-t, y=12•BC•CE=12•5•(11-t)
= 552-52t.
(自变量的取值范围写全对得1分,否则0分)
(3)当0≤t≤5时,t??2?=7,?
∴t=702.
当7≤t≤11时,552-52t=7,∴t=8?2.
∴t=702s或t=8?2s时,△EBF与梯形ABCD的面积之比为1∶2.
第(1)问填空要求读懂题意,利用变化着的面积与相应的函数图象之间的对应性(二维信息)得出结论,得2分;第(2)问能求出曲线OM所对应的二次函数解析式,得4分,能求出线段NP对应的一次函数解析式,并正确写出自变量t的取值范围,得6分;第(3)问能用分类思想继续思考在不同的区间、应用不同的函数关系式求出t的值,得8分。按这评分标准,题目把中等以上考生的水平分别用分数2、4、6、8加以表示,不仅完成区分数学成绩优秀的考生任务,也支持全卷对数学成绩中等考生的区分,所以本题有较强的区分度。
三、 从试题的“两性”来看
试题“两性”是指:可推广性和教育性。本题是以相关的几何知识为背景,在运动过程中,以函数图象为基础,反过来探究生成它的图形面积在变化过程中的函数解析式,在一定程度上加大了考查变化着的图形面积与相应函数图象之间的对应性,以及函数的图象和性质在所反映的实际问题中的变化规律的力度,更有效考查了学生数学思想方法(如分类思想),以及数学思考方法(如动中求静),这样,不仅使试题有很好的效度、信度,更有极好的可推广性。
本题从动态问题研究出发,解答过程需要综合运用代数、几何的知识方法,切实考查了学生的基本数学素养及基本能力。有助于引导教师在初中数学教学中夯实数学基础知识、基本技能和基本思想方法;有助于鼓励学生自主探索和养成独立思考的学习习惯;有助于促进学生创新思维能力的发展,故而对学生的数学学习有一定的教育作用。
【教学反思】
一、 培养学生的自主探究能力
本题以“动态问题”为情境,展现变化的△EBF的面积y与t的函数图象,让学生根据图中的信息解答三个问题。从问题(1)来看,要想求出梯形上底AD的长和梯形ABCD的面积,就必须要求学生能根据图象信息去发现。① 当t=5s时,动点E、F分别到达定点A、C,当t=7s时,动点E到达定点D,而动点F则停止在C点2s,从而BA=BC=5,AD=2。?② 当?t=5s时,△EBF的面积y=10?cm???2?.也即△ABC的面积为10?cm???2?。从而△ABC的高AH也即梯形的高DC为4?cm?。由此可以求出梯形ABCD的面积为14?cm???2?.从本题的考查中可以看出培养学生自主探究能力的重要性。
自主探究是学生学习活动中的一种最基本的活动方式,美国数学教育家波利亚指出:“学习任何东西,最好的途径是自己去发现”。由此看来,有效的教学活动并不能依赖教师的教与学生的被动地接受,教师要给学生创设良好的“问题情境”,引导学生通过动手、动脑、动口在学习活动中主动探究问题,寻求解决问题的方法,这也是建构主义教学观和新课程倡导的教学方法。因此,教师不能把自己的观点和方法直接抛给学生,要给学生提供自主探究的机会和充分展示自己的时间和空间,让学生自主建构新知、获取经验。这样学生的自主学习能力才能得到提高和发展。
二、 培养学生的创新思维能力
从问题(2)来看,“当点E在BA、DC上运动时,分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)”。评分标准给出用“相似法”和“面积法”求这两个函数关系式的过程 (见第2页),评卷中发现有很多考生用“待定系数法”求这两个函数关系式,求解过程如下:
解(2) ① 当点E在BA上运动时,根据图中的信息,因为曲线OM为抛物线的一部分,(0≤t≤5),抛物线的顶点是原定、对称轴是Y轴,所以、可设抛物线为y= at??2?.因为点M(5,10)在抛物线上,所以a5??2?=10.解之,得a=25.故y与t的函数关系式为:y= 25t??2?.
② 当点E在DC上运动时,此时7≤t≤11.因为NP为线段,所以可设y=kt+b.
因为点N(7,10),点P(11,0)在线段NP上,所以
7k+b=10,?
11k+b=0.
解之,得k=-5/2,?b=55/2.
故y与t的函数关系式为:y=- 52t+552.
本题解题方法灵活,用待定系数法,学生要挖掘曲线OM(抛物线的一部分),顶点是原定、对称轴是Y轴的信息,这样既考查了学生所必须掌握重要的数学基础知识和基本方法,又考查了学生在“解决问题”时的创新思维能力,体现了新课标对“发展学生的实践能力和创新精神”的要求。因此,这道中考题既是考查学生应用能力、创新能力的好题,又是引导教学向培养学生创新思维能力的好题。
三、 培养学生的综合应用能力
从问题(3)来看,“当t为何值时,△EBF的面积与梯形ABCD的面积之比为1∶2.”学生能在(1)、(2)的基础上,用分类思想继续思考在不同的区间、应用不同的函数关系式求出t的值。本题从动态的实际问题研究出发,综合运用代数、几何的知识和方法,切实考查了学生的综合应用数学的能力,符合新课标的要求,新课标要求学生“面对实际问题时,能主动尝试着从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略;面对新的数学知识时,能主动地寻找其实际背景,并探索其应用价值。”因此在教学中,教师要引导学生从不同角度发现实际问题中所包含的数学信息,获得综合运用所学知识解决实际问题的经验和方法,感受数学知识间的相互联系,形成应用数学的意识。
教师要通过“数学活动”培养学生的综合应用能力,并鼓励学生自主探究与合作交流。在学生自主探索时,要引导学生在已有的知识基础上,面对综合应用问题,能主动地寻找实际背景和已知信息,主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。在学生合作交流时,要引导学生学会与他人合作,积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,敢于质疑和理解他人的见解,从交流中获益。在学生学习活动困难时,教师要及时给予点化,使学生获得正确的思考方法,形成正确的解题策略。这样,学生才能真正理解和掌握所学的知识和方法,学生的综合应用能力才能得到发展。
(房玉山 江苏省新沂市第四中学 221400)