教学目标 知识技能掌握二次函数的图像及其性质,能灵活运用抛物线的性质解一些实际问题。 数学思考通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力。
解决问题学生亲自经历巩固二次函数相关知识点的过程,体会解决问题策略的多样性。
情感态度经历探索二次函数相关问题的过程,体会数形结合思想、化归思想在数学中的广泛应用,同时感受数学知识来源于实际生活,反之,又服务于实际生活。
教学重点二次函数图像及其性质,应用二次函数分析和解决简单的实际问题。
教学难点二次函数性质的灵活运用,能把相关应用问题转化为数学问题。
课前准备(教具、活动准备等)制作课件
教 学 过 程
教学步骤师 生 活 动设 计 意 图
基础知识之自我构建让学生画出函数y=x2-4x+3的图像,根据图像写出尽可能多的结论。通过一个具体二次函数,请学生说出尽可能多的结论,让学生回忆二次函数有关基础知识。同学们之间可以相互补充,体现团结协作精神,同时发展了学生的探究意识,培养了学生思维的广阔性。
基础知识之基础演练
教者让学生思考1~4题,然后让学生回答,其他同学可以补充。
1. 求将二次函数y=x2-2x图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位后得到图像的函数表达式。
2. 请写出一个二次函数解析式,使其图像与x轴的交点坐标为(2,0)、(-1,0)。
3. 请写出一个二次函数解析式,使其图像与y轴的交点坐标为(0,2),且图像的对称轴在y轴的右侧。
教者让学生口答第4、5题。
4. 如图,抛物线y=ax2+bx+c,用“>”、“=”或“”、“=”或“0;
当x为时,ax2+bx+c0;
④ 抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是(1,0);
⑤抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是(4,0)。
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
第1,2题考查抛物线的轴对称性。
第3题考查二次函数图像及其性质的灵活运用。
本环节三道题目不能直接地应用二次函数的基础知识,而要综合运用相关知识,以达到能力提升之目的。
续表
教学步骤师 生 活 动设 计 意 图
难点突破之聚焦中考
教者出示一道函数类应用题,让学生思考,教者点拨。
例题:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,进价是每件80元,售价是每件120元,为了扩大销售,增加盈利,减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降低1元,商场平均每天可多售出2件,但每件最低价不得低于108元。
(1) 若每件衬衫降低x元(x取整数),商场平均每天盈利y元,试写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
(2) 每件衬衫降低多少元时,商场每天(平均)盈利最多?
本题首先需让学生读懂题意,正确求出二次函数解析式。二次函数的最值是体现二次函数实际应用价值的一种常见题型,它在优选方案、减小投入、增大收益中意义非凡。解题时通常借助顶点坐标来求,但有时由于实际问题实际意义的限制,需结合自变量的取值范围进行调整。本题由图像可知,抛物线顶点(15,1250)不在本题图像上,它不是最高点,最高点应该是(12,1232)。或者这样理解:顶点横坐标是15,不满足0≤x≤12,因此不能理解为:当x=15时,y取最大值为1250元。
反思与提高
1. 本节课你收获了哪些?
2. 通过本节课的函数学习,你认为自己还有哪些地方是需要提高的?
3. 在下面的函数学习中,我们还需要注意哪些问题?
师生共同归纳本章知识网络图示
让学生自己总结一节课的得失,教者进行适当的点评。真正体现出学生是学习的主体,为今后自主学习奠定基础,由此达到数学教学的新境界――提升思维品质,形成数学素养。
教学过程
一、 基础知识之自我构建
师:请画出函数y=x2-4x+3的图像,根据图像你能得到哪些结论?并写出相关结论。同学们比一比,赛一赛,看谁写得多。
生1:开口向上。
生2:对称轴:直线x=2。
生3:顶点(2,-1)。
生4:图像是抛物线,且与y轴交点为(0,3)。
生5:抛物线与x轴两交点分别为(1,0)(3,0)。
生6:抛物线与x轴两交点之间距离为2。
师归纳:刚才同学们得到的结论都正确,可见同学们对二次函数基础知识掌握得很到位。下面老师提出的问题,相信同学们肯定能顺利地解决。
二、 基础知识之基础演练
在投影幕上出示一组题目:
1. 求将二次函数y=x2-2x图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位后得到图像的函数表达式。
2. 请写出一个二次函数解析式,使其图像与x轴的交点坐标为(2,0)、(-1,0)。
3. 请写出一个二次函数解析式,使其图像与y轴的交点坐标为(0,2),且图像的对称轴在y轴的右侧。
学生思考3分钟后,教者开始提问。
生7:第1题,先求得抛物线的顶点坐标为(1,-1),平移后为(2,1),从而知道平移后抛物线解析式为y=(x-2)2+1=x2-4x+5。
生8:第2题,解析式为y=a(x+1)(x-2),其中a≠0
生9:刚才同学的答案不对,题中要求写出一个具体的二次函数解析式,不妨设a=1,则解析式为:y=x2-x-2;当然a可以取一个不等于0的任何实数。
师:很好,从刚才学生8做的这道题,我们有什么收获?
生10:要认真审题。
生11:由题意知,设解析式为y=ax2+bx+2,其中a,b异号即可,例如:a=1,b=-1,即为y=x2-x-2。
师:正确,请坐。
第4题图
投影幕上再出示第4、5两题:
4. 如图,抛物线y=ax2+bx+c,用“>”、“=”或“”、“=”或“0,故b>0。抛物线与y轴交点(0,c)在y轴正半轴上,故c>0,抛物线与x轴有两交点,故b2-4ac>0。
生13:第5题,由图像可知:a>0,b>0,c0,横坐标为-1的点在第三象限,故a-b+c0;
当x为时,ax2+bx+c0,当x1时,ax2+bx+c0;
④ 抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是(1,0);
⑤抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是(4,0)。
A. 2个B. 3个
C. 4个D. 5个
生17:第1题,由题意得-b2a=29a+3b+c=0,由于两个方程中含有三个未知数,故此方程不可解,从而本题不好做。
师:同学们从抛物线的轴对称性入手,再想想看
生18:由对称性可知抛物线与x轴另一交点坐标(1,0),从而a+b+c=0。
师:很好,请坐。看来我们有必要审清题意,学会揣摩出题者的意图。
生19:第2题,由A、B两点纵坐标相等可知A、B两点关于对称轴对称,从而对称轴x=2,又因为C(3,-8),从而另一点就是C点关于直线x=2的对称点,即(1,8)。
师:正确。
生20:第3题中我能判断①③对,②错,④⑤无法判断。
师:谁来帮他一把?
生21:由顶点在第一象限可以画出草图,从而判断④肯定错,⑤可能对,从而选B。
师:正确。同学们掌声鼓励一下。(学生鼓掌),同学们要学会从已知图像中提炼
出相关信息,从而才能顺利解题。
五、 难点突破之聚焦中考
投影幕上出示题目:
例:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,进价是每件80元,售价是每件120元,为了扩大销售,增加盈利,减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降低1元,商场平均每天可多售出2件,但每件最低价不得低于108元。
(1) 若每件衬衫降低x元(x取整数),商场平均每天盈利y元,试写出y与x之间的函数关系式。
(2) 每件衬衫降低多少元时,商场每天(平均)盈利最多?
教者让一名学生黑板上板演:
其板演如下:
解:(1) 由于每件衬衫的利润为120-80-x=(40-x)元,每天销售件数为(20+2x)件,因此y=(40-x)(20+2x)=-2x2+60x+800。
(2) y=-2(x-15)2+1250,因此当x=15时,y取最大值,且为1250元。
师:做完了的同学看黑板上同学做的,看有没有不同意见?
生22:第(1)问正确,第(2)问中顶点(15,1250),由于顶点横坐标15不在自变量取值范围内,故他求的y最大值是错误的。正确的解法是当x=12时,y有最大值,且为1232元。
师:这位同学回答得很到位,做函数类应用题求最值问题时,往往借助顶点坐标来求,但有时由于实际问题实际意义的限制,需结合自变量的取值范围进行调整。
六、 反思与提高
1. 本节课你收获了什么?
2. 通过本节课的函数学习,你认为自己还有哪些地方是需要提高的?
3. 在下面的函数学习中,我们还需要注意哪些问题?
生23:1. 本节课印象最深的是:
① 基础知识很重要。
② 数形结合思想、化归思想值得重视。
③ 解应用题时,要认真审题,注意题中的隐含条件。
2. 就我而言,解题技巧方面需要提高。
3. 今后学习中,我需要注意多做、多练、多总结。
师:由于时间关系,就不再一一发言了。老师这里整理了本章知识网络图。从今天复习课中,我们应该悟出:掌握基础知识的重要性,注意知识综合的灵活性,通过学以致用的体验,让我们感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的。
本章知识网络图
教学反思
本课从“二次函数”基础知识复习入手,以题目组训练带动知识点的回顾,从学生的踊跃发言,以及回答问题的正确率来看,学生基本功是扎实的,但从能力题、综合题完成情况看,技巧方面、综合运用知识点方面,重要数学思想应用方面还有所欠缺,这就提醒我在今后教学过程中要加强这些方面的训练,能力提升不可能一蹴而就,要平时加强训练、不时渗透。不断让学生体验学以致用,使他们感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的。
本课不足之处
1. “变式训练”不到位,教者应对学生出现的典型错误进行剖析(这点我已做到位),但没能不失时机的进行“变式训练”,从而达到预期目标。
2. 班上“后进生”对课堂的参与积极性不是很高,说明教者没能很好调动他们的积极性。
(吕广军 江苏省海安县城东镇韩洋初中 226625)