问题的产生 为了巩固和加深学生对排列组合概念的理解，我设计了如下题目。请思考以下问题： 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增添了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）
A． 42B。30 C 。20D 。12
很快，同学A便给出了一种解法：列式为.
同学B也给出了一种解法：列式为＝42
同学C说：我不理解“”，为什么是“”，我更不理解“”，我认为应该是：＝42.”
面对三个不同的解释，教室内的气氛一下热烈了，同学们便不由自主地讨论起来，有的拥护A，有的拥护B，有的则认为C有道理。
2 在讨论中暴露学生的思维过程
无序的讨论没有什么效果，这时需要将讨论引向问题的实质。
教师：“大家将讨论集中一下，先请同学A、B、C分别解释一下他们的解题思路，看看谁能说服大家。”
同学A：从7个位置中选2个位置给新的节目，并且排序，剩下的5个位置给原定的节目，无须排序，故而为
同学B：把7个节日进行全排列，即，然后原先有的5个节目只能有一个顺序，故而消去之间的相对顺序，所以列式为=42
同学C说：我的思路是：在原定的5个节目的空档先填一个节目，即，然后再在6个节目的空档填另一个节目，即，所以是.
教师：“几位同学对自己答案的解释，好像都有道理，结果也相同，是否解答都正确，请大家继续思考。”
同学E说：这个问题可以用分类计数原理解释：分两个新增节目不相邻地插入和两个新增节目相邻地插入两种情况，即得：=42
同学D：同学B的解法中＝42确实不好理解，在这一点上，C的解法似乎更好解释，但又觉得C的解法会出现重复。
教师：为什么会觉得C的解法会出现重复？
同学D的发言已触及到问题的要害，却没有同学再接下去了，讨论进行到这里陷入僵局，多数同学出现百思不解的神情，一方面觉得结果是对的，另一方面从实际情景考虑，觉得C的解法确实会出现重复。现在是教师发挥作用的时候了，但如果直接抬出结论不会有好效果，这样做的结果常常是“一听就懂，过后就忘”。
教师：我们小结一下刚才讨论过程中的要点：
（1）同学A、B的解答没有人提出疑问，直觉上答案就是42，
（2）讨论的焦点集中在是否出现重复
（3）注意同学D指出的同学C的解法会出现重复”让我们回到教材，看看排列组合的定义中有什么被我们忽视了几分钟后同学E要求发言。
他说：我认为的解法是错误的，应该是，因为刚才在做时，没有明确哪一个节目在前，哪一个节目在后，故而丢了一个，后面做好之后所有的情况都会重复一次，所以应该消序一次，除以
3释疑解惑，深化对概念的理解
许多同学听了这个解释仍表示不理解，主要是对“所有的情况都会重复一次”不理解。
教师：为了解释清楚这个问题，说明是怎样出现重复的，我们不妨把原来的5个节目设为A、B、C、D、E,排成 “A B C D E”的顺序，两个新的节目不妨设为甲、乙。
第一种情况。在做第一步时，有可能出现“A B甲 C D E”情况，然后在中出现“A B甲乙 C D E” ；第二种情况，在做第一步时，亦有可能出现“A B乙C D E”情况，然后在中出现“A B甲乙 C D E”，这样“A B甲乙 C D E”考虑了两次。
为什么所有情况都会重复一次呢？除了刚才说的两个节目相邻会重复，两个节目不相邻，如“A甲 B C乙D E”也会重复，一种情况下，第一步从甲、乙中选出的是甲，填成了“A 甲B C D E”，然后选出的是乙，填成了“A 甲B C乙D E”，另一种情况，第一步选出的是乙，填成了“A B C乙D E”，然后选出的是甲，填成了“A 甲B C乙D E”，所以有重复，而且所有情况都重复一次，故而除以甲、乙的顺序即可，是凑巧等于答案了，少乘一个，少除一个，所以正好，但它的意义是不正确的。
对于同学A的解法：将新增节目和原定节目共7个节目看成7个位置，先将新增节目安排在这7个位置中的2个位置，并且排序，有种排法，剩下的5个位置给原定的节目，无须排序，故而为
同学B的解法：将新增节目和原定节目共7个节目进行全排列，即，然后原有的5个节目A、B、C、D、E,排成 “A B C D E”的顺序只是这5个节目全排列即中的一种情况，故而消去之间的相对顺序，所以列式为=42
同学E的解法是分二类，第一类：将两个新增节目不相邻地插入原有的5个节目的6个空档中的两个，有种插法，第一类：将两个新增节目相邻地插入原有的5个节目的6个空档中的一个，并且排序，有种插法，即得：=42
小结：（1）今天找到了解决这类问题的四种解法（如上①②③④）其中解法②带有直觉思维的特点，因此显得最简捷，但对比紧扣概念的解法①③④，解法①简明一些。（2）由解法①③④的分析知在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，而分类与分步是解排列组合的应用问题的核心，容易产生的错误是遗漏和重复计算。
4发散联想，提高学生的思维能力
（1）将以上问题推广,我们可以得出一般结论：某班新年联欢会原定的n个节目已排成节目单，开演前又增添了m个新节目，如果将这m个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为：
(2) 进一步推广：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增添了A、B、C 三个新节目，如果将这三个新节目插入原节目单中，要求A、B相邻，且C与A、B都不相邻，那么不同插法的种数为：
（3）横向联系：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增添了A、B、C 三个新节目，如果将这三个新节目插入原节目单中，要求A不安排第一，且C不安排在末尾，那么不同插法的种数为： (间接法) 或（直接法）
归纳：解排列组合的应用问题，要注意以下几点：
（1）仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质进行分类，按事件发生的过程进行分步。
（2）以元素为主时，先满足特殊元素的要求，以位置为主时，先满足特殊位置的要求，先不考虑附加条件，计算出总数后，再减去不符合要求的方法数。
（3）对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决。对于难于直接解决的问题，还可以用间接法，但应该做到不重不漏。
（4）在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方法是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看是否相同，在排列组合问题分类时，分类标准要统一，否则易出现重复或遗漏。