审题是正确、迅速解题的基础和前提,但学生常常对此掉以轻心,致使解题失误或陷入繁杂之中。解题后的思考同样也很重要,我们的学生对这个问题认识的还很不够,这也在很大程度上制约者解题能力的提高.本文引用一些具体的例题来浅谈一下“解题前的审题与解题后的思考”的几点不成熟的看法。
一、解题前的“三审”
1、要善于变换
一般的题目都明确给出已知和求解的对象,但我们并不能直接由已知求出未知,这时,在审题中就要对已知条件变换.
2、要善于应用逆向思维
我们经常会遇到正面解决一个数学问题是思维受阻的情况,此时,我们改变思维角度,应用逆向思维,往往会有“柳暗花明又一村”的感觉。
例2.两个不同的点P,Q,在曲线y=x2上移动,不管如何选择位置,它们总不能关于直线y=m(x-3)对称,求m的取值范围。
解析:正面解决,思维受阻,应用逆向思维。即先求曲线y=x2上关于直线y=m(x-3)有对称的两点时m的取值范围,然后再求出不能关于直线y=m(x-3)对称的m的取值范围。
3、要善于挖掘隐含条件
题目的条件有明有暗,隐含条件的挖掘对解题方向的确定、解法的繁简、解题的严密性等有重要的作用。挖掘不到位便会经常出现繁解、错解或无从下手。
二、解题后的“三思”
1.一思:解题过程是否合理、科学、规范
例4.若方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根均大于2。求实数m的取值范围。
常见错解:设两根为x1,x2则
正确的求解应为
对于此题的错误只要我们做到了“一思”的话这个错误是容易避免的。
2、“二思”是否还有新的解法
在平时的解题过程中大多数学生只是解完后对一对答案,如果没错,那就算完成了解题的任务,很少再去考虑是否还有新的解法,这种解题习惯将会成为学生发散思维的形成以及数学能力提高的一大障碍。
例5求 的取值范围.
解法一:(不等式的性质)
解法二(线性规划)
解:依题意得:
∵ f(1)=p-q∴-4≤p-q≤-1 …………… ①
∵ f(2)=4p-q∴ -1≤4p-q ≤5…………②
∴ 由①,②可得:0≤p≤3, 1≤q≤7
又∵f(3)=9p-q所以:-7≤f(3)=9p-q≤ 26
0≤p≤3, 1≤q≤7,f(3)=9p-q
把p,q用X,Y来表示,令Z= f(3)=9p-q则 Z= 9X-Y
则 Z= f(3)=9X-Y, 依题意可得:
作直线L:9X-Y=0
把L向右上,左下平移,当移至通过可行域内的B点时z最大,通过A点时最小由解得B(3,7),Zmax=20由解得A(0,1),Zmin=-1
所以: -1≤f(3)=9p-q≤ 20
3.“三思”:类比变式
通过对数学问题进行多角度、多方面的变式探索研究。从中不仅能增强学生的创新意识和应变能力,而且能优化学生的思维品质,培养学生发现问题和解决问题的能力和素质。
例6.解不等式 (新教材 第二册(上))
变式1:解不等式
变式2:解不等式
变式3:解不等式
变式4:解不等式
变式5:若不等式 的解集不是空集,求实数a的取值范围。
这里一个问题类比变式出了五个不同的问题,形成了问题链,达到了学生做一道题,会一类题的目的。总之,审题直接影响着解题的成功与否,在平时的教学当中我们应加强学生的审题能力的培养,使他们掌握一些基本的审题方法。解题后引导学生不断地对问题进行分析,归纳总结、抽象概括、类比变式让学生体会解题带来得快乐,享受解题成功的喜悦。长期以往,将会逐渐养成学生良好的解题习惯的。
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